高三数学题：关于直线与圆锥曲线的位置关系,平面向量的数量积的

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 22:21:01

解题思路：不妨令OA的斜率为k, OA与OB垂直，则OB的斜率为-1/k OA: y = kx, 与抛物线联立, 得交点为A(k, k²) 类似地，B(-1/k, 1/k²) AC的斜率p = (k² - 1)/(k - 0) = (k² - 1)/k BC的斜率q = (1 - 1/k²)/(0 + 1/k) = (k² - 1)/k p = q, AC与BC平行
解题过程：
(1). 设AB:y=kx+b，A(x1,y1),B(x2,y2)
OA·OB=0 即x1x2+y1y2=0
即x1x2+(x1x2)^2=0
显然x1x2≠0
所以x1x2=-1
联立AB与抛物线的方程，消y,得：
x^2-kx-b=0
由韦达定理得：x1x2=-b=-1
所以b=1
AB: y=kx+1
所以x=0,y=1恒是y=kx+1的解
所以AB恒过C
所以A,B,C三点共线

(2). 因为A,M,B三点共线
所以可设M(x0,y0)，其中y0=kx0+1
OM=(x0,y0)
因为直线AB的方向向量为(1,k)
所以令(x0,y0)·(1,k)=0即可
得：x0+ky0=0
又因为y0=kx0+1
消k得：x0^2+y0^2-y0=0
所以M的轨迹方程为x^2+y^2-y0=0

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