作业帮数学题很有意思,也很有学问
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/26 11:08:23
数学题很有意思,也很有学问
在等边三角形ABC中,以AB为底做一个等腰三角形ABD,AD=BD,E,F分别为AC,BC的中点,连接的DE,FE,请问∠D处那三个角会不会相等?（我探索得到会相等.请大家指出我是对还是错,错给出理由,对讲出过程）,如果你会那你就会等分三等角了,这是我探索的!
EF改为DF,回答出者奖励50财富,D在△ABC异测（可在AB边上）,可以画个图试试（尽量保持准确）,我深知我错了，但是大家能想出来都很不错！
在等边三角形ABC中,以AB为底做一个等腰三角形ABD,AD=BD,E,F分别为AC,BC的中点,连接的DE,FE,请问∠D处那三个角会不会相等?（我探索得到会相等.请大家指出我是对还是错,错给出理由,对讲出过程）,如果你会那你就会等分三等角了,这是我探索的!
EF改为DF,回答出者奖励50财富,D在△ABC异测（可在AB边上）,可以画个图试试（尽量保持准确）,我深知我错了，但是大家能想出来都很不错！
很显然,∠ADE=∠BDF,证明过程用三角形全等即可.只需要看中间那个∠EDF是否相等即可.
连接CD,由对称性可得∠DCF=30°,问题转换成了：证明∠BDF = 2∠CDF.
接下来我们令∠CDF=α,∠FDB=2α.看看能不能由所给的条件推出恒成立.
请注意,以下将采用完全可逆的推导步骤,即条件能推出结果,结果也能推出条件.
∠DCF=30°,∠CDF=α,∠FDB=2α,∠CBD=150°-3α（三角形内角和180°即可推出）
在△CFD中,对CF和FD两边使用正弦定理：
CF：sinα = FD：sin30°
即 CF = FD × sinα ÷ sin30°
在△BFD中,对BF和FD两边使用正弦定理：
BF：sin2α = FD：sin(150°-3α)
即 BF = FD × sin2α ÷ sin(150°-3α)
而BF=CF,所以sinα ÷ sin30° = sin2α ÷ sin(150°-3α)
整理得：cosα = sin(150°-3α)
sin(90°-α) = sin(150°-3α)
要让此式成立,需满足：90°-α = 150°-3α,或者,90°-α + 150°-3α = 180°
也就是说α=30°（此时D在AB边上）
或者α=15°（此时∠ADB为直角）
只有这两种情况下,∠D被三等分,其余不可.
再问： 我九年级没学到正弦，这一步什么意思“整理得：cosα = sin(150°-3α)”。 你把∠α=20°作为假设带一带，你在看看你的推论有没有问题，我只是觉得不只有30°和15°，欢迎纠正
再答： 正弦定理指的是，同一个三角形中，边长：对角的正弦值 = 常数。 没学过就没学过吧，我也想不到其他巧方法，这个已经是我想到的严格证明方法中最简单的了。三角函数什么的一时半会也说不清楚，你以后如果回过头来看这道题的话就会明白了。 sinα ÷ sin30° = sin2α ÷ sin(150°-3α) 这个式子里面： sin30° = 0.5 sin2α = 2 × sinα × cosα 这样两边约分之后得到cosα = sin(150°-3α)，而cosα=sin(90°-α)，所以sin(90°-α)=sin(150°-3α) 呵呵，这个推导你可能弄不太懂，但是没关系，我保证这是对的，不会骗你。 然后我告诉你一下正弦值相等的条件： 如果sinA=sinB， 那么A=B+n×360°（n为任何整数，可以为负）， 或者A+B=180°+n×360°（n为任何整数，可以为负）。 20°代入，150°-3α=90°，90°-α=70°，既不满足差值为360°整数倍，也不满足相加180°奇数倍。 所以，的确只有我之前说的两种情况。
连接CD,由对称性可得∠DCF=30°,问题转换成了：证明∠BDF = 2∠CDF.
接下来我们令∠CDF=α,∠FDB=2α.看看能不能由所给的条件推出恒成立.
请注意,以下将采用完全可逆的推导步骤,即条件能推出结果,结果也能推出条件.
∠DCF=30°,∠CDF=α,∠FDB=2α,∠CBD=150°-3α（三角形内角和180°即可推出）
在△CFD中,对CF和FD两边使用正弦定理：
CF：sinα = FD：sin30°
即 CF = FD × sinα ÷ sin30°
在△BFD中,对BF和FD两边使用正弦定理：
BF：sin2α = FD：sin(150°-3α)
即 BF = FD × sin2α ÷ sin(150°-3α)
而BF=CF,所以sinα ÷ sin30° = sin2α ÷ sin(150°-3α)
整理得：cosα = sin(150°-3α)
sin(90°-α) = sin(150°-3α)
要让此式成立,需满足：90°-α = 150°-3α,或者,90°-α + 150°-3α = 180°
也就是说α=30°（此时D在AB边上）
或者α=15°（此时∠ADB为直角）
只有这两种情况下,∠D被三等分,其余不可.
再问： 我九年级没学到正弦，这一步什么意思“整理得：cosα = sin(150°-3α)”。 你把∠α=20°作为假设带一带，你在看看你的推论有没有问题，我只是觉得不只有30°和15°，欢迎纠正
再答： 正弦定理指的是，同一个三角形中，边长：对角的正弦值 = 常数。 没学过就没学过吧，我也想不到其他巧方法，这个已经是我想到的严格证明方法中最简单的了。三角函数什么的一时半会也说不清楚，你以后如果回过头来看这道题的话就会明白了。 sinα ÷ sin30° = sin2α ÷ sin(150°-3α) 这个式子里面： sin30° = 0.5 sin2α = 2 × sinα × cosα 这样两边约分之后得到cosα = sin(150°-3α)，而cosα=sin(90°-α)，所以sin(90°-α)=sin(150°-3α) 呵呵，这个推导你可能弄不太懂，但是没关系，我保证这是对的，不会骗你。 然后我告诉你一下正弦值相等的条件： 如果sinA=sinB， 那么A=B+n×360°（n为任何整数，可以为负）， 或者A+B=180°+n×360°（n为任何整数，可以为负）。 20°代入，150°-3α=90°，90°-α=70°，既不满足差值为360°整数倍，也不满足相加180°奇数倍。 所以，的确只有我之前说的两种情况。