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已知函数f(x)=1/2+log2x/(1-x),若Sn=f(1/n)+f(2/n)+.+f((n-1)/n),n为正整

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/28 21:35:10
已知函数f(x)=1/2+log2x/(1-x),若Sn=f(1/n)+f(2/n)+.+f((n-1)/n),n为正整数,且n≥2,求Sn
此题还有第三问,sn=(n-1)/2,此条件成立下,已知a1=2/3,an=1/((Sn+1)*(S(n+1)+1)){n≥2,n为正整数},数列{an}的前n项和为Tn若Tn<λ(S(n+1)+1)对一切n为正整数都成立,求λ的取值范围
f(1/n)=1/2+log2x/(1-x)=1/2+log2[(1/n)/(1-1/n)]=1/2+log2[1/(n-1)]
f(2/n)=1/2+log2[2/(n-2)],f(2/n)=1/2+log2[3/(n-3)]……
Sn=1/2+log2[1/(n-1)]+1/2+log2[2/(n-2)]+1/2+log2[3/(n-3)]……1/2+log2{(n-1)/[n-(n-1)]}
=(n-1)/2+log2[1/(n-1)]+log2[2/(n-2)]+log2[3/(n-3)]……log2{(n-1)/[1]}
=(n-1)/2+log2{[1/(n-1)]*[2/(n-2)]*[3/(n-3)]……*[(n-1)/1]}
=(n-1)/2+log2(1)=(n-1)/2
an=1/((Sn+1)*(S(n+1)+1))
(Sn+1)=(n+1)/2 S(n+1)+1=n/2+1=(n+2)/2
an=4/(n+1)(n+2)
Tn=2/3+4/(3*4)+4/(4*5)……4/(n+1)(n+2)
=2/3+4[1/(3*4)+1/(4*5)……1/(n+1)(n+2)]
=2/3+4[1/3-1/4+1/4-1/5……+1/(n+1)-1/(n+2)]
=2/3+4[1/3-1/(n+2)]=2n/(n+2)<λ(S(n+1)+1)=λ(n+2)/2
2n/(n+2)<λ(n+2)/2 整理得
λn²+(4λ-4)n+4λ>0 此方程对于任意正整数n恒成立
所以λn²+(4λ-4)n+4λ=0此方程无解
方程△=(4λ-4)²-4*λ*4λ=-32λ+16<0
所以λ>1/2
解答完毕……
还不清楚的话,HI我啊……