作业帮一个蚂蚁爬弹性绳子的问题.
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/23 01:29:32
一个蚂蚁爬弹性绳子的问题.
一条弹性绳子长100m,绳子的一端固定,另一端自由,一只蚂蚁在绳子的固定端
蚂蚁以1cm每秒的速度（相对于脚下的绳子）向绳子另一端（自由端）爬行
与此同时绳子以100m每秒的速度（相对于绳子的固定端）伸长
问蚂蚁能否爬到绳子的自由端?如果不能,说明理由
如果能请说明当绳子伸长到多少米的时候蚂蚁能爬到?
以及爬到离绳子自由端多少距离的时候再继续爬的话和自由端的距离会缩小?
那照你的说法，我把绳子分成10000份，每份1cm，那过了1秒，是不是每份都伸长了1cm？那爬过的距离就是1cm+1cm=2cm，那剩下的路程就是19998cm？两个答案怎么差了99cm呢？到底过了一秒蚂蚁是在什么位置？
关于delitree的回答，大体上没什么问题，但是有一个矛盾：
两边关于时间t积分得：x' = ln(1+t)+a，其中a为任意常数，ln为自然对数。
两边关于时间t再次积分得：x = (1+t)ln(1+t)+bt+c，其中b和c为任意常数。
当得到x' = ln(1+t)+a时，可以由t=0的时刻蚂蚁的速度是1cm每秒推知：
1=ln(1+0)+a,即a=1
当得到x = (1+t)ln(1+t)+bt+c时，可以由t=0的时刻蚂蚁的位置是0推知：
0=1ln(1)+c,即a=0
那a是0还是1呢？
一条弹性绳子长100m,绳子的一端固定,另一端自由,一只蚂蚁在绳子的固定端
蚂蚁以1cm每秒的速度（相对于脚下的绳子）向绳子另一端（自由端）爬行
与此同时绳子以100m每秒的速度（相对于绳子的固定端）伸长
问蚂蚁能否爬到绳子的自由端?如果不能,说明理由
如果能请说明当绳子伸长到多少米的时候蚂蚁能爬到?
以及爬到离绳子自由端多少距离的时候再继续爬的话和自由端的距离会缩小?
那照你的说法，我把绳子分成10000份，每份1cm，那过了1秒，是不是每份都伸长了1cm？那爬过的距离就是1cm+1cm=2cm，那剩下的路程就是19998cm？两个答案怎么差了99cm呢？到底过了一秒蚂蚁是在什么位置？
关于delitree的回答，大体上没什么问题，但是有一个矛盾：
两边关于时间t积分得：x' = ln(1+t)+a，其中a为任意常数，ln为自然对数。
两边关于时间t再次积分得：x = (1+t)ln(1+t)+bt+c，其中b和c为任意常数。
当得到x' = ln(1+t)+a时，可以由t=0的时刻蚂蚁的速度是1cm每秒推知：
1=ln(1+0)+a,即a=1
当得到x = (1+t)ln(1+t)+bt+c时，可以由t=0的时刻蚂蚁的位置是0推知：
0=1ln(1)+c,即a=0
那a是0还是1呢？
把绳子分成10000份,每份1cm,那过了1秒,每份都伸长了1cm 是对的.爬过的距离就是1cm+1cm=2cm,那剩下的路程就是19998cm,也是对的.
而回答者5sv的答案错了.
能够到达.
对原题做如下假设：设蚂蚁起点和绳子的起点都固定在坐标原点,绳子为均匀材质（各段均匀拉长）.
设时间变量为t,在t时刻蚂蚁所在位置坐标为x,绳子终点位置坐标为y.
那么终点位置随时间变化的函数为y=10000+10000t.
蚂蚁在t时刻的速度应视为两者之和：本身的爬行速度1厘米每秒（匀速）和绳子拉伸取得的分速度10000x/y厘米每秒（与蚂蚁位置相关的变速度）.
用符号x'表示蚂蚁的速度,也就是位置x关于时间t的一次微分（dx/dt）.用符号x''表示蚂蚁的加速度,也就是位置x关于时间t的二次微分（d^2x/dt^2）.符号^表示指数运算.
列出微分方程：x' = 1+[10000x/y].
将y=10000+10000t代人得：x' = [x/(1+t)]+1 .
方程两边乘以(1+t)得：x'+tx' = x+1+t.
两边关于时间t微分得：x''+x'+tx''= x'+1.
化简后得：x'' = 1/(1+t).
两边关于时间t积分得：x' = ln(1+t)+a,其中a为任意常数,ln为自然对数.
两边关于时间t再次积分得：x = (1+t)ln(1+t)+bt+c,其中b和c为任意常数.
代入原微分方程得：x = (1+t)ln(1+t)+b(1+t),其中b为任意常数（此时c=b）.
将边界条件t=0时x=0代人得：x = (1+t)ln(1+t) ,此时b=ln1=0.
原问题转化为何时x=y,也就是 (1+t)ln(1+t) = 10000+10000t.
方程两边除以(1+t)得：ln(1+t) = 10000.
即1+t = e^10000,其中^表示指数运算,e为自然对数的底数约为2.7182818…….
所以t=(e^10000-1)约等于3.1*10^4342秒,也就是约为10^4339小时,约为10^4334年.
答：蚂蚁约10^4334年后到达绳子的终点,这个时间比宇宙的年龄大无数倍了.
参考资料可以看看这三个个网页的解答,只是绳长和伸长的速度不一样,本质是一样的.
http://tieba.baidu.com/f?z=568251938&ct=335544320&lm=0&sc=0&rn=30&tn=baiduPostBrowser&word=%C8%A4%CE%B6%CA%FD%D1%A7&pn=0 （32L解答）
http://zhidao.baidu.com/question/116420298.html （问题补充的答案）
http://blog.sina.com.cn/s/blog_560882210100lhix.html
问题补充解析疑问：
1=ln(1+0)+a,即a=1
当得到x = (1+t)ln(1+t)+bt+c时,可以由t=0的时刻蚂蚁的位置是0推知：
0=1ln(1)+c,即a=0
那a是0还是1呢?
第二个式子中是C不是a,a不等于c.
拜托,给分算了吧,.
而回答者5sv的答案错了.
能够到达.
对原题做如下假设：设蚂蚁起点和绳子的起点都固定在坐标原点,绳子为均匀材质（各段均匀拉长）.
设时间变量为t,在t时刻蚂蚁所在位置坐标为x,绳子终点位置坐标为y.
那么终点位置随时间变化的函数为y=10000+10000t.
蚂蚁在t时刻的速度应视为两者之和：本身的爬行速度1厘米每秒（匀速）和绳子拉伸取得的分速度10000x/y厘米每秒（与蚂蚁位置相关的变速度）.
用符号x'表示蚂蚁的速度,也就是位置x关于时间t的一次微分（dx/dt）.用符号x''表示蚂蚁的加速度,也就是位置x关于时间t的二次微分（d^2x/dt^2）.符号^表示指数运算.
列出微分方程：x' = 1+[10000x/y].
将y=10000+10000t代人得：x' = [x/(1+t)]+1 .
方程两边乘以(1+t)得：x'+tx' = x+1+t.
两边关于时间t微分得：x''+x'+tx''= x'+1.
化简后得：x'' = 1/(1+t).
两边关于时间t积分得：x' = ln(1+t)+a,其中a为任意常数,ln为自然对数.
两边关于时间t再次积分得：x = (1+t)ln(1+t)+bt+c,其中b和c为任意常数.
代入原微分方程得：x = (1+t)ln(1+t)+b(1+t),其中b为任意常数（此时c=b）.
将边界条件t=0时x=0代人得：x = (1+t)ln(1+t) ,此时b=ln1=0.
原问题转化为何时x=y,也就是 (1+t)ln(1+t) = 10000+10000t.
方程两边除以(1+t)得：ln(1+t) = 10000.
即1+t = e^10000,其中^表示指数运算,e为自然对数的底数约为2.7182818…….
所以t=(e^10000-1)约等于3.1*10^4342秒,也就是约为10^4339小时,约为10^4334年.
答：蚂蚁约10^4334年后到达绳子的终点,这个时间比宇宙的年龄大无数倍了.
参考资料可以看看这三个个网页的解答,只是绳长和伸长的速度不一样,本质是一样的.
http://tieba.baidu.com/f?z=568251938&ct=335544320&lm=0&sc=0&rn=30&tn=baiduPostBrowser&word=%C8%A4%CE%B6%CA%FD%D1%A7&pn=0 （32L解答）
http://zhidao.baidu.com/question/116420298.html （问题补充的答案）
http://blog.sina.com.cn/s/blog_560882210100lhix.html
问题补充解析疑问：
1=ln(1+0)+a,即a=1
当得到x = (1+t)ln(1+t)+bt+c时,可以由t=0的时刻蚂蚁的位置是0推知：
0=1ln(1)+c,即a=0
那a是0还是1呢?
第二个式子中是C不是a,a不等于c.
拜托,给分算了吧,.