作业帮一道抛物线恒有对称的问题,想知道分析过程~
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 11:08:05
一道抛物线恒有对称的问题,想知道分析过程~
已知抛物线y=ax2-1（a≠0）上总有关于直线L:x+y=0对称的两点.求a的取值范围?
这道题我觉得但凡学过解析几何的都应该做过,所以我不要求答案.
方法大约是设点,然后求斜率,由两点的中点,得到直线方程,再令直线方程和抛物线△>0.
这道题我在没有看解析之前,前面的都能够想到,但是最后也是最关键一步△>0却没有想到,因为我当时是觉得既然已经设点在抛物线上了,那总应该有交点的.
^-^
已知抛物线y=ax2-1（a≠0）上总有关于直线L:x+y=0对称的两点.求a的取值范围?
这道题我觉得但凡学过解析几何的都应该做过,所以我不要求答案.
方法大约是设点,然后求斜率,由两点的中点,得到直线方程,再令直线方程和抛物线△>0.
这道题我在没有看解析之前,前面的都能够想到,但是最后也是最关键一步△>0却没有想到,因为我当时是觉得既然已经设点在抛物线上了,那总应该有交点的.
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设抛物线上的点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)
此两点关于直线x+y=0
根据题意
y1=ax1^2-1
y2=ax2^2-1
两式相加得
y1+y2=a(x1^2+x2^2)-2
又A,B的中点在直线上
故
(x1+x2)/2+(y1+y2)/2=0
即
x1+x2+a(x1^2+x2^2)-2=0 (1)
又A,B两点的斜率是1,即
y1-y2=x1-x2
y1=ax1^2-1
y2=ax2^2-1
两式相减得
y1-y2=a(x1+x2)(x1-x2)
x1+x2=1/a (2)
代入(1)得
1/a+1/a-2ax1x2-2=0
即
ax1x2-1+1/a=0
再把(2)代入得
ax1(1/a-x1)-1+1/a
化为关于x1的一元二次方程
此方程有解
△>0即可
再问： 过程我通通都知道，你有看到我问的问题吗？
再答： 点在抛物线上，必须是有交点的，如果没有交点，那么前面做的功等于0
再问： 我是觉得既然一开始已经设点在抛物线上了，那总应该有交点的。所以就没去算△
再答： 你说的对呀，但是你能保证对称点也在抛物线上吗？
此两点关于直线x+y=0
根据题意
y1=ax1^2-1
y2=ax2^2-1
两式相加得
y1+y2=a(x1^2+x2^2)-2
又A,B的中点在直线上
故
(x1+x2)/2+(y1+y2)/2=0
即
x1+x2+a(x1^2+x2^2)-2=0 (1)
又A,B两点的斜率是1,即
y1-y2=x1-x2
y1=ax1^2-1
y2=ax2^2-1
两式相减得
y1-y2=a(x1+x2)(x1-x2)
x1+x2=1/a (2)
代入(1)得
1/a+1/a-2ax1x2-2=0
即
ax1x2-1+1/a=0
再把(2)代入得
ax1(1/a-x1)-1+1/a
化为关于x1的一元二次方程
此方程有解
△>0即可
再问： 过程我通通都知道，你有看到我问的问题吗？
再答： 点在抛物线上，必须是有交点的，如果没有交点，那么前面做的功等于0
再问： 我是觉得既然一开始已经设点在抛物线上了，那总应该有交点的。所以就没去算△
再答： 你说的对呀，但是你能保证对称点也在抛物线上吗？