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对于平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“折线距离”：

来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：综合作业 时间：2024/04/24 18:23:01
对于平面直角坐标系内任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），定义它们之间的一种“折线距离”：
d（A，B）=|x2-x1|+|y2-y1|．则下列命题正确的个数是（　　）
①若A（-1，3），B（1，0），则d（A，B）=5；
②若点C在线段AB上，则d（A，C）+d（C，B）=d（A，B）；
③在△ABC中，一定有d（A，C）+d（C，B）＞d（A，B）；
④在平行四边形ABCD中，一定有d（A，B）+d（A，D）=d（C，B）+d（C，D）．

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
①∵A（-1，3），B（1，0），则d（A，B）=|1-（-1）|+|0-3|=2+5=5，故①正确；
②设直角坐标平面内的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），设C点坐标为（x0，y0），
∵点C在线段AB上，
∴x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，不妨令x1＜x0＜x2，y1＜y0＜y2，
则d（A，C）+d（C，B）=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|
=x0-x1+y0-y1+x2-x0+y2-y0
=x2-x1+y2-y1
=|x2-x1|+|y2-y1|
=d（A，B）成立，故②正确；
③在△ABC中，d（A，C）+d（C，B）=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|≥|（x0-x1）+（x2-x0）|+|（y0-y1）+（y2-y0）|=|x2-x1|+|y2-y1|=|AB|，
故③不一定成立；
④在平行四边形ABCD中，设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）、D（x4，y4），

则d（A，B）=d（C，D），d（A，D）=d（C，B），
∴d（A，B）+d（A，D）=d（C，B）+d（C，D），即④正确；
∴命题正确的是①②④，
故选：C．
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