作业帮以直代曲的思想是微积分的基础之一,那么这个思想本身得到证明麽?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：语文作业 时间：2024/04/18 22:33:08
以直代曲的思想是微积分的基础之一,那么这个思想本身得到证明麽?
比如说当角度非常小的时候,弦长等于弧长.这个是直观的推测还是可以证明?请回答者不要说“去学高数来回答”.
非常感谢匿名网友的精彩回答。就您讲的问题我想是这样的。第一：π的求法，必须要用到不断把圆分成多边形。然后值越来越趋近于某个值，这个时候，我们定义这个值为π。至于怎么证明周长与直径比是常数的过程我不了解。如果是用极限的方法证明的必然就是循环论证了。第二：三角函数的应用。如果我们在圆上取一段弧，对应一根弦。设圆心角为2a,那么弦长为2rsina，弧长为2ra,弧长与弦长的比为sina/a.或者说是sinx/x x趋近于0。当然结论我们都知道。但是sinx/x的证明恰恰是通过圆的面积图像来证明的，似乎有循环论证的嫌疑。
比如说当角度非常小的时候,弦长等于弧长.这个是直观的推测还是可以证明?请回答者不要说“去学高数来回答”.
非常感谢匿名网友的精彩回答。就您讲的问题我想是这样的。第一：π的求法，必须要用到不断把圆分成多边形。然后值越来越趋近于某个值，这个时候，我们定义这个值为π。至于怎么证明周长与直径比是常数的过程我不了解。如果是用极限的方法证明的必然就是循环论证了。第二：三角函数的应用。如果我们在圆上取一段弧，对应一根弦。设圆心角为2a,那么弦长为2rsina，弧长为2ra,弧长与弦长的比为sina/a.或者说是sinx/x x趋近于0。当然结论我们都知道。但是sinx/x的证明恰恰是通过圆的面积图像来证明的，似乎有循环论证的嫌疑。
我认为可以用极限的定义证明.
比如你做一个圆,则两条半径所夹的弧长和弦长可以用圆周公式和余弦定理求出,他们的差只和半径、半径的夹角有关,半径一定的时候可以证出夹角越小差越小,根据极限的定义就可以证明这时弦长等于弧长了.
圆是二次曲线,可以用直线逼近（一次的）.如果是高阶曲线（形状复杂,拐来拐去的那种）,只要够角度小,就可以截取一段无拐点的弧,然后用二阶曲线去逼近,或者还可以用夹逼定理.这种逼近思想的证明,涉及高阶的,我觉得无法避免的要用到高等数学中的微积分思想.
补充：
恩,表面上看似乎是有这个嫌疑,但我认为在里用以直代曲方法求得的只是π的精确值,π本身的定义以及三角函数并不受影响.三角函数本身是定义在直角坐标系下而非单位圆里的,他和单位圆……最多也就是计算中被单位化了.我认为不会落入循环论证.如果你坚持的话,能不能举个例子,譬如你觉得什么地方有循环?或者“本身又是跟圆（特别是单位圆）的定义密切相关的”有哪些密切相关之处?
不涉及定义和交叉引用证明,就不会落到循环论证里吧...以直代曲本身倚仗的应该是极限的思想,我个人认为它只是一种手段,极限才是微积分的思想基础之一.
个人的一点浅薄看法,勿笑,
第一：π的求法,必须要用到不断把圆分成多边形.然后值越来越趋近于某个值,这个时候,我们定义这个值为π.至于怎么证明周长与直径比是常数的过程我不了解.如果是用极限的方法证明的必然就是循环论证了.
===
还是那句话,π的定义和π的求法是两回事（然后值越来越趋近于某个值,这个时候,我们定义这个值为π.——对此“定义”存疑）.
这个问题的关键是如何证明“周长与直径比是常数”,我没有找到相关的资料...很汗...
“分析方法发明后逐渐取代了割圆术,但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道.
”
看到这里说有分析方法（完全不知道是什么方法= =b）……不知道能不能用来证明周长与直径比是常数……
第二：三角函数的应用.如果我们在圆上取一段弧,对应一根弦.设圆心角为2a,那么弦长为2rsina,弧长为2ra,弧长与弦长的比为sina/a.或者说是sinx/x x趋近于0.当然结论我们都知道.但是sinx/x的证明恰恰是通过圆的面积图像来证明的,似乎有循环论证的嫌疑.
===
至于这个问题,想得我好晕……sinx/x的极限是怎么证,我都忘得差不多了,得去翻翻书先.
不知能不能找到一种代数方法可以证明差的极限……
这道题颇有点用极限证明极限的嫌疑,可是极限又是一种人为定义……
不知道你有没有试过数学归纳法?
π/n-sin(π/n)
比如你做一个圆,则两条半径所夹的弧长和弦长可以用圆周公式和余弦定理求出,他们的差只和半径、半径的夹角有关,半径一定的时候可以证出夹角越小差越小,根据极限的定义就可以证明这时弦长等于弧长了.
圆是二次曲线,可以用直线逼近（一次的）.如果是高阶曲线（形状复杂,拐来拐去的那种）,只要够角度小,就可以截取一段无拐点的弧,然后用二阶曲线去逼近,或者还可以用夹逼定理.这种逼近思想的证明,涉及高阶的,我觉得无法避免的要用到高等数学中的微积分思想.
补充：
恩,表面上看似乎是有这个嫌疑,但我认为在里用以直代曲方法求得的只是π的精确值,π本身的定义以及三角函数并不受影响.三角函数本身是定义在直角坐标系下而非单位圆里的,他和单位圆……最多也就是计算中被单位化了.我认为不会落入循环论证.如果你坚持的话,能不能举个例子,譬如你觉得什么地方有循环?或者“本身又是跟圆（特别是单位圆）的定义密切相关的”有哪些密切相关之处?
不涉及定义和交叉引用证明,就不会落到循环论证里吧...以直代曲本身倚仗的应该是极限的思想,我个人认为它只是一种手段,极限才是微积分的思想基础之一.
个人的一点浅薄看法,勿笑,
第一：π的求法,必须要用到不断把圆分成多边形.然后值越来越趋近于某个值,这个时候,我们定义这个值为π.至于怎么证明周长与直径比是常数的过程我不了解.如果是用极限的方法证明的必然就是循环论证了.
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还是那句话,π的定义和π的求法是两回事（然后值越来越趋近于某个值,这个时候,我们定义这个值为π.——对此“定义”存疑）.
这个问题的关键是如何证明“周长与直径比是常数”,我没有找到相关的资料...很汗...
“分析方法发明后逐渐取代了割圆术,但割圆术作为计算圆周率最早的科学方法一直为人们所称道.
”
看到这里说有分析方法（完全不知道是什么方法= =b）……不知道能不能用来证明周长与直径比是常数……
第二：三角函数的应用.如果我们在圆上取一段弧,对应一根弦.设圆心角为2a,那么弦长为2rsina,弧长为2ra,弧长与弦长的比为sina/a.或者说是sinx/x x趋近于0.当然结论我们都知道.但是sinx/x的证明恰恰是通过圆的面积图像来证明的,似乎有循环论证的嫌疑.
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至于这个问题,想得我好晕……sinx/x的极限是怎么证,我都忘得差不多了,得去翻翻书先.
不知能不能找到一种代数方法可以证明差的极限……
这道题颇有点用极限证明极限的嫌疑,可是极限又是一种人为定义……
不知道你有没有试过数学归纳法?
π/n-sin(π/n)