过正弦曲线y=sinx上点M（π/2,1）处作一抛物线y=ax^2+bx+c,使抛物线与正弦曲线在M点具有相同的曲率与凹

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/25 13:00:13

过正弦曲线y=sinx上点M（π/2,1）处作一抛物线y=ax^2+bx+c,使抛物线与正弦曲线在M点具有相同的曲率与凹向,并写出M点处两曲线的公共曲率圆方程.

首先,正弦曲线y=sinx在点M(π/2,1)处的曲率K
K=|y''|/[1+y'^2]^(3/2)
所以,y'=cosx=cos(π/2)=0
y''=-sinx=-sin(π/2)=-1
所以,K=|-1|/[1+0]^(3/2)=1
所以,曲率圆半径为1/K=1
曲率圆圆心在点M处法线上,而点M处的切线的斜率k=y'=0
所以,点M处的法线为过点M垂直于x轴的直线上,即在x=π/2上
又因为曲率圆半径为1,所以：圆心纵坐标=1-1=0
所以,曲率圆方程为：
[x-(π/2)]^2+y^2=1
又,抛物线与正弦曲线具有相同的曲率和凹向,所以,对于抛物线y=ax^2+bx+c
y'=2ax+b在点M(π/2,1)处为零
所以：2a*(π/2)+b=πa+b=0…………………………………（1）
y''=2a
所以,抛物线在M点处的曲率K=|y''|/[1+y'^2]^(3/2)
=|2a|/[1+0]^(3/2)
=|2a|=1
又因为它们具有相同的凹向,所以：a=-1/2……………（2）
且,点M(π/2,1)在抛物线上,所以：
1=a*(π/2)^2+b*(π/2)+c…………………………………（3）
联立(1)(2)(3)得到：
a=-1/2
b=π/2
c=(8-π^2)/8
所以,所求抛物线方程为：
y=(-1/2)x^2+(π/2)x+[(8-π^2)/8]
公共曲率圆方程为：
[x-(π/2)]^2+y^2=1

已知方程ax^2+bx+c=0的两根分别为-1和3,抛物线y=ax^2+bx+c与过点M（3,2）的直线y=kx-m有一已知方程ax平方+bx+c=0的两根分别是-1和3,抛物线y=ax平方+bx+c与过点M（3,2）的直线y=kx+m有抛物线Y=ax*x+bx+c过点A（-1,0）且经过直线Y=x-3与坐标轴的两个交点为B、C 若点M在第四象限内的抛物线正弦曲线y=sinx上切线斜率等于1/2的点是____________ 两道初三数学函数题.如图,点M（1,m)(m>0)是抛物线y=ax^2+bx+c的顶点,点A（1,0）,若抛物线与y轴正如图,抛物线y=ax^2+bx-4a过点B(4,0)和C(0,4),与X轴交与另一点A,一：已知D(M,M+1）在第一象如图,已知抛物线m:y=ax^2+bx+c(a≠0）与x轴相交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上）,顶点为C点,抛物线m 已知以点M(1/2,-9/4)为顶点的抛物线y=ax²+bx+c与过点N(2,5)直线相交与点P（-3,10）已知开口向下的抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交与m、n两点（点n在点m的右侧）,并且m和n两点的横坐标恰是方程x^2 已知直线y=kx-2与抛物线y=ax的平方+bx+c的图像交于点A(-1,-3)与点B(m,3),且抛物线的对称轴为直线已知方程y=ax2+bx+c的两个根分别是—1和3,抛物线y=ax2+bx+c与过点M的（3,2）的直线y=kx+m有一抛物线y=ax平方+bx+c过点A（1,0）和点C（5,0）,顶点为B,直线y=kx+m过a,b两点,他与坐标轴为的面积