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O是三角形ABC的内角平分线的交点,过O作DE⊥AO交A、B,AC于D,E.求证:BD*CE=OD*OE

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 03:11:03
O是三角形ABC的内角平分线的交点,过O作DE⊥AO交A、B,AC于D,E.求证:BD*CE=OD*OE
证明:
因为O是三角形ABC的内角平分线的交点
所以OA平分∠BAC
所以∠BAO=∠CAO
因为DE⊥AO
所以∠AOD=∠AOE,
所以∠ADE=∠AED
所以∠BDO=∠OEC
又因为∠BOC=180-∠OBC-∠OCB
=180-(∠OBC+∠OCB)
=180-(∠ABC/2+∠ACB/2)
=180-(∠ABC+∠ACB)/2
=180-(180-∠BAC)/2
=90+∠BAC/2
所以∠DOB+∠COE=180-∠BOC=180-(90+∠BAC/2)=90-∠BAC/2
因为∠DOB+∠DOB=180-∠BDO=180-(∠DAO+∠AOD)=180-(∠BAC/2+90)=90-∠BAC/2
所以∠COE=∠DOB
所以△BDO∽△OEC
所以BD/OE=DO/EC
即BD*CE=OD*OE