作业帮数列 收敛：证明从有限的数列中,永远可以选出收敛的子序列.
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/28 05:58:36
数列 收敛：证明从有限的数列中,永远可以选出收敛的子序列.
若数列有有限项,得证.
若数列有无穷项,设上界a,下界b
做二等分[a,(a+b)/2],[(a+b)/2,b]
其中必有一含有xn中的无穷多项,设为[a1,b1]
在[a1,b1]中作二等分得到[a2,b2],如此类推下去得到
[a1,b1]包含[a2,b2]包含[a3,b3]包含...包含[an,bn]包含...
那么有lim [an,bn]=c
从[a1,b1]中选xp1,再在[a2,b2]中选xp2使得在xn中xp2在xp1后面.
这个xp2是选的到的.若xp1∈[a2,b2],此xp2存在.
若xp1∉[a2,b2],那么xp1后有无数多项,那么其中必有无数多项在[a2.b2]中.
按此法选出xp1,xp2,...,xpn...
|xpk-c|c
从而xpk收敛.
故从有限的数列中,永远可以选出收敛的子序列.
若数列有无穷项,设上界a,下界b
做二等分[a,(a+b)/2],[(a+b)/2,b]
其中必有一含有xn中的无穷多项,设为[a1,b1]
在[a1,b1]中作二等分得到[a2,b2],如此类推下去得到
[a1,b1]包含[a2,b2]包含[a3,b3]包含...包含[an,bn]包含...
那么有lim [an,bn]=c
从[a1,b1]中选xp1,再在[a2,b2]中选xp2使得在xn中xp2在xp1后面.
这个xp2是选的到的.若xp1∈[a2,b2],此xp2存在.
若xp1∉[a2,b2],那么xp1后有无数多项,那么其中必有无数多项在[a2.b2]中.
按此法选出xp1,xp2,...,xpn...
|xpk-c|c
从而xpk收敛.
故从有限的数列中,永远可以选出收敛的子序列.