在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上（如图），且OC=1，OA=a+1（a＞1），点D

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/29 02:22:44

在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上（如图），且OC=1，OA=a+1（a＞1），点D在边OA上，满足OD=a．分别以OD、OC为长、短半轴的椭圆在矩形及其内部的部分为椭圆弧CD．直线l：y=-x+b与椭圆弧相切，与OA交于点E．
（1）求证：b²-a²=1；
（2）设直线l将矩形OABC分成面积相等的两部分，求直线l的方程；
（3）在（2）的条件下，设圆M在矩形及其内部，且与l和线段EA都相切，求面积最大的圆M的方程．

证明：（1）题设椭圆的方程为
x2
a2+y2＝1．…（1分）
由

x2
a2+y2＝1
y＝−x+b 消去y得（1+a²）x²-2a²bx+a²（b²-1）=0．…（2分）
由于直线l与椭圆相切，故△=（-2a²b）²-4a²（1+a²）（b²-1）=0，
化简得b²-a²=1．①…（4分）
（2）由题意知A（a+1，0），B（a+1，1），C（0，1），
于是OB的中点为(
a+1
2，
1
2)．…（5分）
因为l将矩形OABC分成面积相等的两部分，所以l过点(
a+1
2，
1
2)，
即f（x），亦即2b-a=2．②…（6分）
由①②解得a＝
4
3，  b＝
5
3，故直线l的方程为y＝−x+
5
3．…（8分）
（3）由（2）知E(
5
3，  0)，  A(
7
3，  0)．
因为圆M与线段EA相切，所以可设其方程为（x-x₀）²+（y-r）²=r²（r＞0）．…（9分）
因为圆M在矩形及其内部，所以

0＜r≤
1
2
x0＞