如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长等于2的正三角形，且∠PCA=∠PCB．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/01 17:26:11

如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长等于2的正三角形，且∠PCA=∠PCB．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）设正△ABC的中心为O，△PAB的重心为G，求证：OG∥平面PAC；
（Ⅲ）当侧面PBC⊥底面ABC时，二面角P-AB-C与二面角A-PC-B的大小恰好相等．
①求证：PC⊥底面ABC；
②求二面角A-PB-C的正切值．

（Ⅰ）证明：作AB的中点E，连结PE，CE，
∵BC=AC，∠PCA=∠PCB，PC=PC，
∴△PBC≌△PAC，
∴PB=PA，
∴PE⊥AB，
∵AC=BC，E为AB的中点，
∴CE⊥AB，
∵CE⊂平面PEC，PE⊂平面PEC，PE∩CE=E，
∴AB⊥平面PEC，
∵PC⊂平面PEC，
∴PC⊥AB；
（Ⅱ）△PAB的重心为G，△ABC的中心为O，且PE，CE分别为△PAB，△ABC的中线，
∴G，O分别在PE，CE上，
∴
EG
GP=
1
2=
EO
OC，
∴OG∥PC，
∵PC⊂平面APC，OG⊄平面APC，
∴OG∥平面PAC．
（Ⅲ）①作BC的中点F，连结AF，
∵AB=AC，
∴AF⊥BC，
∵面PBC⊥底面ABC，面PBC∩底面ABC=BC，
∴AF⊥平面BCP，
∵PC⊂平面BCP，
∴AF⊥PC，
∵PC⊥AB，AB∩AF=A，AB⊂平面ABC，AF⊂平面ABC，
∴PC⊥平面ABC．
②∵PC⊥平面ABC．
∴PC⊥AC，PC⊥BC，
∴∠ACB为二面角A-PC-B，
∵PE⊥AB，CE⊥AB，
∴∠PEC为平面APB和平面ABC的二面角，
∴∠PEC=∠ACB=60°，
∴在Rt△PEC中，PC=tan60°•EC=3，
∴BP=
BC2+PC2=
13，
作FH⊥PB，连结AH，
∵AE⊥平面BCP，
∴BP⊥AE，
∴BP⊥平面AFH，
∵AH⊂平面AFH，
∴BP⊥AH，
∴二面角A-PB-C为∠AHF，
∵∠CBP=∠PBC，∠FHB=∠PCB=90°，
∴△BFH∽△BPC，
∴
BF
BP=
FH
PC，
∴FH=
BF
BP•PC=
1

13×3=
3
13
13，
∴在Rt△AFH中，tan∠AHF=
AF
FH=

三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于______ 在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,PA=3,底面ABC是边长为2的正三角形,则三棱锥体积为如图，在△ABC中，点P是△ABC的内心，则∠PBC+∠PCA+∠PAB=______度．（2012•青浦区一模）如图：三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC 如图,在△ABC中,点P是△ABC的三条角平分线交点,则∠PBC+∠PCA+∠PAB=___度如图,已知凌锥P-ABC的底面是边长为6的正三角形,侧棱PA⊥底面ABC.且PA=3根号3求(1)三棱锥P-ABC的体积三棱锥P-ABC中，平面PBC⊥平面ABC，△PBC是边长为a的正三角形，∠ACB=90°，∠BAC=30°，M是BC的如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90°．在△ABC中,AB=AC,角A=90°,如果P为三角形内一点,且∠PBC=∠PCA,那么∠BPC等于在三棱锥s-abc中,三角形abc是边长为4的正三角形,sa=sc,证明ac⊥sb 如图,在△ABC中,∠BAC=80°,AB=AC,点P是△ABC内的一点,且∠PBC=10°,∠PCB=30°, 如图，在三棱锥P-ABC中，直线PA⊥平面ABC，且∠ABC=90°，又点Q，M，N分别是线段PB，AB，BC的中点，且