已知函数f（x）=ln（1+x），g(x)＝a+bx−12x2+13x3，函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象在交点

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/04/28 01:56:53

已知函数f（x）=ln（1+x），g(x)＝a+bx−

（1）求导函数可得f′(x)＝
1
1+x，g′（x）=b-x+x²，
∵函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象在交点（0，0）处有公共切线
∴g（0）=0，f′（0）=g′（0）
∴a=0，b=1．                       …（4分）
（2）证明：令h（x）=f（x）-g（x）=ln（x+1）-x+
1
2x2−
1
3x3（x＞-1），∴h′（x）=-
x3
x+1…（5分）
令h′（x）＞0可得-1＜x＜0；h′（x）＜0可得x＜-1或x＞0，∵x＞-1，∴x＞0，
∴h（x）在（-1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数．                   …（6分）
∴h（x）_max=h（0）=0，
∴h（x）≤h（0）=0，即f（x）≤g（x）．          …（8分）
（3）证明：设u（x）=（1+x）[f（x）-f（x₁）]-（x-x₁），则u′（x）=ln（1+x）-ln（1+x₁）．
当x∈（x₁，x₂）时，u′（x）＞0，u（x）单调递增，
又u（x₁）=0，故u（x）＞0，即
f(x)−f(x1)
x−x1＞
1
1+x．                        …（10分）
设v（x）=（1+x）[f（x₂）-f（x）]-（x₂-x），则v′（x）=ln（1+x₂）-ln（1+x）．
当x∈（x₁，x₂）时，v′（x）＞0，v（x）单调递增，
又v（x₂）=0，故v（x）＞0，即
f(x)−f(x2)
x−x2＜
1
1+x．
综上，x∈（x₁，x₂）时，证明：
f(x)−f(x1)
x−x1＞
f(x)−f(x2)
x−x2．    …（12分）

已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=x2+2ax+1（a为正常数），且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等已知函数f（x）=|x-a|,g（x）=x2+2ax+1（a为正常数）,且函数f（x）与g（x）的图象在y轴上的截距相等已知函数f(x)=|x-a|,g(x)=X2+2ax+1(a为正常数）,且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等已知函数f（x）=x2+ex-12（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围已知函数f（x）=x2+ln（x+m）与函数g（x）=x2+ex-12（x＜0）的图象上存在关于y轴对称的点（e为自然对设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a,g（x）=x2-3x+2,其中x∈R,a、b为常数,已知曲线y=f（x）与y= 将函数f（x）=x3+3x2+3x的图象按向量a平移后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）满足g（1-x）+g（1+x 已知f（x）=log2（x+1），当点（x，y）在函数y=f（x）的图象上运动时，点(x3，y2)在函数y=g（x）的图已知函数f(x)=ln(1+x),g(x)=a+bx-1/2x^2+1/3x^3,函数y=f(x)与函数y=g(x)的图已知函数f(x)=x^2+1,函数y=g(x)的图像与y=f(x)的图象关于点（1,2）对称, 设函数g（x）=（x+1）ln（x+1）-x,f（x）=a（x+1）^2ln(x+1)+bx,曲线y=f（x）在原点（0 已知f（x）=lnx，g（x）=13x3+12x2+mx+n，直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切于点（1，0）