刘2010宣武区高三期末数学答案

刘2010宣武区高三期末数学答案

一、选择题：本大题共有8个小题,每小题5分,共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D B C A D C
二、填空题：本大题共有6个小题,每小题5分,共30分；请把答案写在相应的位置上.
题号 9 10 11 12 13 14
答案
5
三、解答题：本大题共有6个小题,共80分；解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
（Ⅰ）∵ ,
∴由正弦定理知：,
∵ 是三角形内角,
∴ ,从而有 ,
∵ ,
∴ = .……………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）将 代入 得：
,
利用两角和与差的余弦公式展开得：； ．
相应的有：= ,
∴ 的面积为 .………………………………………………………………13分
16.（本题满分13分）
证明：（Ⅰ）连结 和 交于 点,连 ．
∵ 是正三棱柱,
∴ 为 的中点.又 为棱 中点,
∴在 中,,又 ,平面 ,
∴ ‖平面 ；…………………………………………………………………6分
（Ⅱ）建如图所示空间直角坐标系,
∵ ,,,
,,
∴ ,
设平面 的法向量为n ,
∴ ,即 ,令 ,得n ,
∵ ∴ ,
∴ 与平面 所成的角正弦值为 .………………………………………13分
17.（本题满分13分）
（I）设“世博会会徽”卡有 张,由 ,得 ,
故“海宝”卡有4张,抽奖者获奖的概率为 ；…………………………………6分
（Ⅱ） 的分布列为 ；
0 1 2 3 4
∴ ,．…………………………………………13分
18.（本题满分13分）
（Ⅰ）设 ,的图象经过坐标原点,所以c=0.
∵ ∴
即：
∴a=1,b=0,；…………………………………………………………………4分
（Ⅱ）函数 的定义域为 ． ,
令 ,,,
∵ ,∴ ,在 上恒成立,
即 ,当 时,函数 在定义域 上单调递减．………………9分
（III）当 时,,令
则 在 上恒正,
∴ 在 上单调递增,当 时,恒有 .,
即当 时,有 ,
对任意正整数 ,取 得 ．…………………………………………13分
19.（本题满分14分）
（Ⅰ）直线 与 轴的交点为N（0,1）,圆心C（2,3）,设M（ ,）,
∵ 与 所在直线垂直,∴ ,（ ,
当 时不符合题意,当 时,符合题意,
∴ 中点的轨迹方程为：,.……………6分
（Ⅱ）设 ,
∵ ,且 ,∴
将 代入方程 得 ,
∵ ,
∴4 = ,
∴ = ,……………………………………………………………10分
∵由 ,∴ ,∵ 得 ,
∴ 时,的最大值为 .………………………………………………………………14分
20.（本题满分14分）
（Ⅰ） =1；
= = =1；………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 ,即
由 ,……………①
得 …………②
由①＋②,得 ∴ ,…10分
（Ⅲ） ∵ ,∴对任意的 .
∴ 即 .
∴ .
∵ ∴数列 是单调递增数列.
∴ 关于n递增.当 ,且 时,.
∵
∴ ∴ ∴ .而 为正整数,
∴ 的最大值为650.…………………………………………………………………………………14分