三角函数的正弦`余弦`正切的解法是什么

三角函数的正弦`余弦`正切的解法是什么

三角函数中,以公式多而著称.解题方法也较灵活,但并不是无法可寻,当然有它的规 律性,近几年的高考中总能体现出其规律性.而对三角函数的考查解法,归纳起来主要有以 下六种方法:一.平方法 观察问题的条件和所求结论,是同角三角函数正余弦代数和形式或正余弦积的形式,可 考虑将代数和取平方.这样能有机地将和差与乘积结合起来,从而顺利求解.例:已知 θ ∈(0,2π ) 且 sin θ ,cos θ 是方程 x kx + k + 1 = 0 的两根,求 k 的值.
2
解析:由韦达定理得:
sin θ + cos θ = k (1) sin θ cos θ = k + 1 (2)
(1) 2 (2) × 2 得:1 = k 2 2k 2 ,∴ k = 3 或 k = 1
又原二次方程满足 ≥ 0,∴ k ≥ 2 + 2 2 或 k ≤ 2 2 2
∴ 舍去 k = 3 得 k = 1
注:解决数学问题应掌握一些基本的技能,如"取平方""取对数""取倒数"等技巧,,,以提高解题能力.二.降幂法 涉及高次三角函数化简问题,常通过平方关系,倍角关系降幂得到解答.例:已知 sin θ + cos θ=
4 4
A.
解析:∵ sin θ + cos θ
2 2
(
7 9
B.
7 9
)
5 ,则 cos 4θ = 9 1 C.9 2 sin 2 θ cos 2 θ =
( D.
)
1 9
2
5 4 2 2 ,∴ 2 sin θ cos θ =9 9
∴
sin 2 2θ 4 1 cos 4θ 8 7 =,∴ = ,∴ cos 4θ = ,选 A.2 9 2 9 9
注:本题降幂是一个重要环节,有很多涉及三角函数的化简,求值,性质等题目,入门 的关键是恰当运用平方关系,如 sin α + cos α = 1 和倍角公式如 2 sin α cos α =sin 2α ,
2 2
sin 2 α =
1 cos 2α 1 + cos 2α 2 ,cos α = 等.2 2
三.凑角法 还有一些求值问题,通过观察角之间的关系,恰当构造角使之与特殊角和其它角联系起 来,能找出解答途径.例:已知
π
3 π π 3 3 5 < α < π ,0 < β< 且 cos α = ,cos π + β =,求 4 4 4 4 5 4 13
1
sin (α + β ) 的值.
解析:由
π
3 π π 4 π < α < π 得 < α < 0 ,从而 sin α = 4 4 2 4 5 4
由0 < β cos(π B ) = cos B .但 cos A =
12 4 12 < = cos B ∴ cos A ≠ .13 5 13 12 33 当 cos A = 时,符合题意,故 cos C = cos( A + B ) = .13 65
注:讨论法是将问题化整为零,化难为简的重要方法,一般在用平方关系涉及象限角问 题或含有绝对值的三角函数问题等,都得加以讨论.六.图象法 在解决三角函数问题时,有时要借助图象才能更好地解决相应问题.例:设 ω > 0 ,若函数 f ( x )= 2 sin ωx 在
π π ,上单调递增,求 ω 的取值范围.3 4
2
解析:如图(右) ,据三角函数的图象及其性质 知 f ( x ) 在
π π ,上单增.2ω 2ω
π 2ω
π 2ω
π π π π ∴ ,应该为 ,的子区间.3 4 2ω 2ω
π π ≤ 3 ∴ 2ω π π ≥ 2ω 4
3 ∴ ω ∈ 0,.2
注:三角函数的很多问题涉及图象,如能充分借助图象,进行直观分析,数形结合常能 快捷解答问题.