1到60中与60互质的整数个数?为什么是n=(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)=16?

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 00:28:42

1到60中与60互质的整数个数?为什么是n=(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)=16?
1到60中与60互质的整数个数?
为什么是n=(1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)=16?
求普遍解答方法

这是欧拉φ函数的公式：
φ(n)：小于n的数里,与n互质的数的个数.
公式是这样的：
先把 n 进行质因数分n = p1^k1 * p2^k2 * ...* pr^kr
则：φ(n) = n (1 - 1/p1) (1 - 1/p2) ...(1 - 1/pr)
比如：n = 60 = 2^2 * 3 * 5
那么：φ(n) = 60 * (1-1/2) (1-1/3) (1-1/5) = 16
再比如：n = 36 = 2^3 * 3^2
那么：φ(n) = 36 * (1-1/2) (1-1/3) = 12
证明是这样的.
先证明一个引理：如果 m、n 互质,则：φ(mn) = φ(m) φ(n)
然后质因数分解中,p1^k1、p2^k2、...、pr^kr 都是互质的,并且对于质数 p：
φ(p^k) = p^k - p^(k-1) = p^k (1-1/p)
所以乘起来后：
φ(n) = φ(p1^k1) φ(p2^k2) ...φ(pr^kr)
= p1^k1 (1-1/p1) * p2^k2 (1-1/p2) * ...* pr^kr (1-1/pr)
= n (1-1/p1) (1-1/p2) ...(1-1/pr)
再问：蟹蟹你！

1.满足|mn|+|m-n|=1的整数对（m,n）的个数是? N为正整数,计算从1到N的所有整数中包含数字1的个数. 满足不等式3|n-1|-2n＞2|3n+1|的整数n的个数是______．若4n+1表示一个整数，则整数n可取值的个数是（　　）设f(x)=x的平方+x+1/2的定义域是[n ,n+1],则函数f(x)的值域中含有整数的个数为? 设函数f(x)=x^2-x=1/2定义域为[n,n+1],n属于N+.求f(x)值域中整数的个数从1到100这100个数中任意抽取10个数,其中至少有5个数是连续整数的概率是? 若N个整数的最大公因数是1,则称这N个整数互质.这里的整数包括负数吗?例如-2与3互质吗? 若N个整数的最大公因数是1,则称这N个整数互质.这里的整数包括负数吗?例如-2与3互质吗?请给把整数1到n如下排列,第n行第m个数是多少? 若n+1分之4表示一个整数,则n可取的值得个数是对于任意大于1的整数n,大于n!+n而小于n!+n的质数的个数有多少个?(其中n!=n*(n-1)*(n-2)*.*3*