证明两个函数傅里叶级数相等的充要条件

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 19:42:17

证明两个函数傅里叶级数相等的充要条件
设f(x),g(x)以2pi为周期,且在[-pi,pi]上可积,证明f,g的傅里叶级数相等的充要条件是
|f(x)-g(x)| 从-pi到pi的定积分=0

首先命题等价于:在[-π,π]可积的2π周期函数f(x),Fourier系数全为0的充要条件是∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.
充分性很容易:0 ≤ |∫{-π,π} f(x)dx| ≤ ∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.
0 ≤ |∫{-π,π} f(x)sin(nx)dx| ≤ ∫{-π,π} |f(x)|·|sin(nx)|dx ≤ ∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.
0 ≤ |∫{-π,π} f(x)cos(nx)dx| ≤ ∫{-π,π} |f(x)|·|cos(nx)|dx ≤ ∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.
故所有Fourier系数全为0.
必要性用Parseval恒等式:由f(x)在[-π,π]可积,|f(x)|²也在[-π,π]可积.
并成立Parseval恒等式:∫{-π,π} |f(x)|²dx = |a0|²+∑{1 ≤ n} (|an|²+|bn|²).
由f(x)的Fourier系数全为0,可知∫{-π,π} |f(x)|²dx = 0.
再由Cauchy不等式:(∫{-π,π} |f(x)|dx)² ≤ (∫{-π,π} |f(x)|²dx)·(∫{-π,π} 1²dx) = 0.
即得∫{-π,π} |f(x)|dx = 0.

关于级数收敛的充要条件八年级数学如何证明两个三角形相等两个级数收敛性的证明题根据函数极限定义证明：函数f(x)当xn时极限存在的充要条件是左极限,右极限各自存在并且相等. 函数连续的充要条件证明：矩阵AB=BA的充要条件是它们的特征值相等. 用向量法证明：空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等充要条件的证明题,进来证明数列收敛的充要条件用向量方法证明空间四边形对角线相互垂直的充要条件是对边平方和相等函数项级数绝对收敛,则绝对值级数的极限值与原函数项级数极限值相等吗设两个级数都收敛,证明两个级数和的平方也收敛