如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),点P是x轴上的一个动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ,当点

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/18 20:24:26

如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,4),点P是x轴上的一个动点,以线段AP为一边,在其一侧作等边三角形APQ,当点P运动到原点O处时,记Q的位置为B.（1）求点B的坐标；（2）求证：当点P在x轴上运动（P不与O重合）时,∠ABQ为定值；（3）是否存在点P,使得以A,O,Q,B为顶点的四边形是梯形?若存在,请求出P点的坐标；若不存在,请说明理由.

作BC⊥x轴,垂足为C,因为△AOB为等边三角形所以OA=OB=4,∠AOB=60所以∠BOC=30°在直角三角形OBC中,BC=OB/2=2,OC=√(OB²-BC²)=√（16-4）=2√3所以B(2√3,2) 2)因为△APQ和△AOB是等边三角形所以AP=AQ,AO=AB,∠PAQ=∠OAB所以∠PAQ-∠OAQ=∠OAB-∠OAQ即∠PAO=∠QAB所以△PAO≌△QAB所以∠AOP=∠ABQ,因为∠AOP=90,所以∠ABQ=90为定值
再问：还有第三问呢?
再答：

若∠OQB=90°，因为∠ABQ=90所以∠OQB=∠ABQ=90，所以AB∥OQ所以四边形AOQB是梯形因为△AOB是等边三角形，∠ABQ=90所以∠OBQ=30°因为OB=OA=4，所以OQ=OB/2=2，过Q作QD⊥x轴，垂足为D,∠POQ=∠BOQ-∠BOD=60-30=30°所以DQ=OQ/2=1，OD=√3过Q作QE⊥y轴在直角三角形AQE中，由勾股定理，得，AQ²=EQ²+²AE²即AQ²=25+2=27在直角三角形DPQ中，DP²=27-1=26所以DP=√26P(√3-√26,0)