四元方程x^2+y^2=X^2+Y^2是否存在素数解?

四元方程x^2+y^2=X^2+Y^2是否存在素数解?
正整数中两数的平方和等于另外两数的平方和,这样的情形是很多的,如10^2+10^2=14^2+2^2.我想知道,这样子的四个数能否都是素数呢?
允许有最多两个素数相同。遗憾楼上给的三组解各有一个合数35=5*7，99=9*11，91=7*13

你真的要四个数字都是素数吗?
素数,也叫质数,分解因数就只有自己和 1 ,没有其他因数,
一般偶数都有公因数 2 ,例如 4 = 1 X 4 = 2 X 2 ,通常偶数就都是合数,
可是最小的偶数 2 相当特别,也只有 1 X 2 = 2 ,所以 2 也是质数,
而且 1 = 1 X 1 ,自然数 1 就既不是质数,也不是合数.
先看看 3" + 4" = 5" 这些勾股数吧,
3:4:5 ,5:12:13 ,7:24:25 ,9:40:41 ,11:60:61 ,
15:8:17 ,35:12:37 ……
在最简比值的三个数字当中,都是一个偶数、两个奇数,
或者说,都是一个奇数与一个偶数的平方和,
等于另一个奇数的平方.
看到
5" + 12" = 13" 是 25 + 144 = 169 ,
35" + 12" = 37" 是 1225 + 144 = 1369 ,
就有
12" = 13" - 5" = 37" - 35"
移项
13" + 35" = 37" + 5"
这四个数字当中,
除了 35 = 5 X 7 是合数,
5、13、37 三个都是素数.
在许多不同的勾股数当中,
也都有相同的偶数,
看到
21" + 20" = 29" 是 441 + 400 = 841 ,
99" + 20" = 101" 是 9801 + 400 = 10201 ,
偶数都是 20 ,
就有
29" - 21" = 101" - 99"
移项,
29" + 99" = 101" + 21"
这四个数字当中,
除了两个合数 99 = 9 X 11 ,21 = 3 X 7 ,
其余 29 和 101 都是素数.
还有,
11" + 60" = 61" 是 121 + 3600 = 3721 ,
91" + 60" = 109" 是 8281 + 3600 = 11881 ,
偶数都是 60 ,
就有
61" - 11" = 109" - 91"
移项,
61" + 91" = 109" + 11"
这四个数字当中,
除了 91 = 13 X 7 是合数,
11、61、109 也是三个素数.
其实,这三组来自勾股数的结果,
13" + 35" = 37" + 5" ,
29" + 99" = 101" + 21" ,
61" + 91" = 109" + 11" ,
都是原先相等的平方差,移项变成了相等的平方和,
我们就不妨跳出勾股数,直接根据平方差,
来寻找 4个数字的结果.
两个平方和,
5" + 5" = 7" + 1"
5" - 1" = 7" - 5"
( 5 - 1 )( 5 + 1 ) = ( 7 - 5 )( 7 + 5 )
4 X 6 = 2 X 12 = 24
倒过来,
72 = 4 X 18 = 2 X 36
( 11 + 7 )( 11 - 7 ) = ( 19 + 17 )( 19 - 17 )
11" - 7" = 19" - 17"
11" + 17" = 19" + 7"
这次的四个数字,就真的全部都是素数了
算一算
121 + 289 = 361 + 49
410 = 410
没错,
11" + 17" = 19" + 7"
而且 7 与 11、17 与 19 ,都是相邻的两个素数.
这样,真要找到四个素数的结果,
方法就先拿两个素数,写成平方差,分解因式,
a" - b" = ( a - b )( a + b )
原来两个素数 a 和 b ,必然都是奇数,
两个奇数的和 ( a + b ) 是偶数,
两个奇数的差 ( a - b ) 也是偶数,
得到两个偶数的乘积 ( a - b )( a + b ) ,
再找到另外两个偶数的因数,
新的两个偶数,
一个就是另外两个奇数的和 ( x + y ) ,
另一个又是这两个奇数的差 ( x - y ) ,
( x + y ) + ( x - y ) = 2x
这两个偶数的和,就是一个奇数的两倍,
( x + y ) - ( x - y ) = x + y - x + y = 2y
这两个偶数的差,就是另一个奇数的两倍,
于是又可以变成两个奇数的平方差,
就能够移项得到奇数的平方和了,
也只有是奇数,才可能是素数啊.
根据这个结果
11" + 17" = 19" + 7"
我们就知道,四个素数也的确有可能.