在直角三角形中,如何证明勾股定理?

在直角三角形中,如何证明勾股定理?
在直角三角形ABC 中,角C为直角.角分别所对应的边长用a 、b、c表示.证明a ^2+b^2=c^2.

【证法1】（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b ,斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P. ∵ D、E、F在一条直线上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD, ∴∠EGF = ∠BED, ∵∠EGF + ∠GEF = 90°, ∴∠BED + ∠GEF = 90°, ∴∠BEG =180°―90°= 90° 又∵ AB = BE = EG = GA = c, ∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴∠ABC + ∠CBE = 90° ∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD, ∴∠ABC = ∠EBD. ∴∠EBD + ∠CBE = 90° 即∠CBD= 90° 又∵ ∠BDE = 90°,∠BCP = 90°, BC = BD = a. ∴ BDPC是一个边长为a的正方形. 同理,HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S,则 , ∴ BDPC的面积也为S,HPFG的面积也为S 【证法2】（项明达证明） 做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC,交AC于点P. 过点B作BM⊥PQ,垂足为M；再过点 F作FN⊥PQ,垂足为N. ∵∠BCA = 90°,QP∥BC, ∴∠MPC = 90°, ∵ BM⊥PQ, ∴∠BMP = 90°, ∴ BCPM是一个矩形,即∠MBC = 90°. ∵∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = °, ∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90°, ∴∠QBM = ∠ABC, 又∵ ∠BMP = 90°,∠BCA = 90°,BQ = BA = c, ∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA. 同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF. 【证法3】（赵浩杰证明） 做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a） ,斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF,AE为边长做正方形FCJI和AEIG, ∵EF=DF-DE=b-a,EI=b, ∴FI=a, ∴G,I,J在同一直线上, ∵CJ=CF=a,CB=CD=c, ∠CJB = ∠CFD = 90°, ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD , 同理,RtΔABG ≌ RtΔADE, ∴RtΔCJB ≌ RtΔCFD ≌ RtΔABG ≌ RtΔADE ∴∠ABG = ∠BCJ, ∵∠BCJ +∠CBJ= 90°, ∴∠ABG +∠CBJ= 90°, ∵∠ABC= 90°, ∴G,B,I,J在同一直线上, 【证法4】（欧几里得证明） 做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结 BF、CD. 过C作CL⊥DE, 交AB于点M,交DE于点L. ∵ AF = AC,AB = AD, ∠FAB = ∠GAD, ∴ΔFAB ≌ΔGAD, ∵ΔFAB的面积等于, ΔGAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半, ∴ 矩形ADLM的面积 =. 同理可证,矩形MLEB的面积 =. ∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积 ∴即a的平方+b的平方=c的平方