作业帮麻烦求解一道微积分求体积的题!
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 11:56:09
麻烦求解一道微积分求体积的题!
求y=4+sqrt(2),y=4+tan(4x)sec(4x)以及y轴所围成的区域 绕y=4+sqrt(2) 旋转之后的体积.
求y=4+sqrt(2),y=4+tan(4x)sec(4x)以及y轴所围成的区域 绕y=4+sqrt(2) 旋转之后的体积.
先求出交点：4+sqrt(2)=4+tan(4x)sec(4x),2=tan(4x)sec,2=sin(4x)/cos^2(4x),2=sin/[(1-sin^2(4x)]；
sinx=√2/2,x=π/16；故此,x=0~π/16；
根据y=4+sqrt(2), y=4+tan(4x)sec(4x)的图像（后者图像与tanx类似）,它们与y轴（x=0）所围区域位于y轴右侧、x轴上方,y的变化范围是y=4+√2 ~ 4+tan(4x)sec(4x)；
对任一位置x,微面积ydx绕y=4+√2旋转一周的微体积是：dV=[4+tan(4x)sec(4x)-(4+√2)]^2 dx；
所求旋转体体积V=∫{0,π/16}π[tan(4x)sec(4x)-√2]^2dx=∫{0,π/16}π[2-2√2tan4xsec4x+(tan4xsec4x)^2]dx
=2πx|{0,π/16}-∫{0,/16}2π√2tan4xsec4x dx+∫{0,π/16}π[(tan(4x)sec(4x)]^2dx
=π/8-π(√2/2)/cos(4x)|{0,π/16}+∫{0,/16}π[1/cos^4(4x)-1/cos^2(4x)]dx
=π√2/2-3π/8+∫{0,/16}(π/4)[1+tan^2(4x)] d(tan4x)-∫{0,/16}(π/4)d(tanx)
=π√2/2-3π/8+[π/4+(π/4)/3]-π/4=π(√2/2-7/24)；
sinx=√2/2,x=π/16；故此,x=0~π/16；
根据y=4+sqrt(2), y=4+tan(4x)sec(4x)的图像（后者图像与tanx类似）,它们与y轴（x=0）所围区域位于y轴右侧、x轴上方,y的变化范围是y=4+√2 ~ 4+tan(4x)sec(4x)；
对任一位置x,微面积ydx绕y=4+√2旋转一周的微体积是：dV=[4+tan(4x)sec(4x)-(4+√2)]^2 dx；
所求旋转体体积V=∫{0,π/16}π[tan(4x)sec(4x)-√2]^2dx=∫{0,π/16}π[2-2√2tan4xsec4x+(tan4xsec4x)^2]dx
=2πx|{0,π/16}-∫{0,/16}2π√2tan4xsec4x dx+∫{0,π/16}π[(tan(4x)sec(4x)]^2dx
=π/8-π(√2/2)/cos(4x)|{0,π/16}+∫{0,/16}π[1/cos^4(4x)-1/cos^2(4x)]dx
=π√2/2-3π/8+∫{0,/16}(π/4)[1+tan^2(4x)] d(tan4x)-∫{0,/16}(π/4)d(tanx)
=π√2/2-3π/8+[π/4+(π/4)/3]-π/4=π(√2/2-7/24)；