（2009•东城区一模）请阅读下列材料：

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：综合作业时间：2024/05/17 20:47:52

（2009•东城区一模）请阅读下列材料：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．即如图1，若弦AB、CD交于点P，则PA•PB=PC•PD．请你根据以上材料，解决下列问题．

已知⊙O的半径为2，P是⊙O内一点，且OP=1，过点P任作-弦AC，过A、C两点分别作⊙O的切线m和n，作PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R．（如图2）
（1）若AC恰经过圆心O，请你在图3中画出符合题意的图形，并计算：

（1）AC过圆心O，且m，n分别切⊙O于点A，C，
∴AC⊥m于点A，AC⊥n于点C．
∵PQ⊥m于点Q，PR⊥n于点R，
∴Q与A重合，R与C重合．
∵OP=1，AC=4，
∴PQ=1，PR=3，
∴
1
PQ+
1
PR=1+
1
3=
4
3．

（2）连接OA，
∵OP⊥AC于点P，且OP=1，OA=2，
∴∠OAP=30°．
∴AP=
3．
∵OA⊥直线m，PQ⊥F直线m，
∴OA∥PQ，∠PQA=90°．
∴∠APQ=∠OAP=30°．

在Rt△AQP中，PQ=
3
2，同理，PR=
3
2，
∴
1
PQ+
1
PR＝
2
3+
2
3＝
4
3．

（3）猜想
1
PQ+
1
PR＝
4
3．
证明：过点A作直径交⊙O于点E，连接EC，
∴∠ECA=90°．
∵AE⊥直线m，PQ⊥直线，
∴AE∥PQ且∠PQA=90°．
∴∠EAC=∠APQ．
∴△AEC∽△PAQ．
∴
AC
PQ＝
AE
AP①
同理可得：
AC
PR＝
AE
PC②
①+②，得：

AC
PQ+
AC
PR=
AE
AP+
AE
PC

∴
1
PQ+
1
PR=
AE
AC（
1
AP+
1
PC）
=

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