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已知数列{an}的前n项之积与第n项的和等于1,求证{1/(an-1)}是等差数列,并求{an}的通项公式

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/16 05:16:04
已知数列{an}的前n项之积与第n项的和等于1,求证{1/(an-1)}是等差数列,并求{an}的通项公式
a1 * a2 * a3.an + an = 1
an-1= - a1 * a2 * a3.an
a(n-1)-1= - a1 * a2 * a3.a(n-1)
上面二者的倒数 相减 通分后 再把an-1= - a1 * a2 * a3.an代入
得到 {1/(an-1)}-{1/(a(n-1)-1)}= -1
可以证明{1/(an-1)}是等差数列
证毕
a1 * a2 * a3.an + an = 1 当n=1时
a1 + a1=1
所以 a1=0.5=1/2
{1/(an-1)}的首项为 {1/(a1 - 1)} = -2
{1/(an-1)}的通向公式为 -2 -(n-1)=-1-n
an-1 = {1/(-1-n)}
化简得到 an=n/(1+n)