已知a>0且a≠1,数列{an}是首项为a,公比也为a的等比数列,设bn=an•lgan,问是否存在a,对任意自然数n∈
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/29 19:01:03
已知a>0且a≠1,数列{an}是首项为a,公比也为a的等比数列,设bn=an•lgan,问是否存在a,对任意自然数n∈N*,数列{bn}中的每一项总小于它后面所有的项?若存在,求出a的取值范围;若不存在,则说明理由.
∵{an}是首项为a,公比为a的等比数列,
∴an=an,bn=an•lgan=nanlga,
∴bn+1=(n+1)an+1 lga,
∴bn+1−bn=an[(n+1)a−n]lga.
(1)当a>1时,lga>0,an>0,(n+1)a-n>(n+1)-n>0,
∴bn<bn+1(n∈N*).
(2)当0<a<1时,lga<0,
当且仅当(n+1)a-n<0(n∈N*)时,
bn<bn+1(n∈N*),
即当a<
n
n+1(n∈N*)时,bn<bn+1(n∈N*),
而当n∈N*时,n+1≤2n,即
n
n+1≥
1
2,
∴只要取a<
1
2.
综上所述,当a的取值为(0,
1
2)∪(1,+∞)时,
使得数列{bn}中的任一项都小于它后面各项.
∴an=an,bn=an•lgan=nanlga,
∴bn+1=(n+1)an+1 lga,
∴bn+1−bn=an[(n+1)a−n]lga.
(1)当a>1时,lga>0,an>0,(n+1)a-n>(n+1)-n>0,
∴bn<bn+1(n∈N*).
(2)当0<a<1时,lga<0,
当且仅当(n+1)a-n<0(n∈N*)时,
bn<bn+1(n∈N*),
即当a<
n
n+1(n∈N*)时,bn<bn+1(n∈N*),
而当n∈N*时,n+1≤2n,即
n
n+1≥
1
2,
∴只要取a<
1
2.
综上所述,当a的取值为(0,
1
2)∪(1,+∞)时,
使得数列{bn}中的任一项都小于它后面各项.
已知a>0,a≠1,数列{an}是首项为a,公比也为a的等比数列,令bn=an×lg an(n∈N+),求数列{bn}的
已知a>0,a≠1,数列{An}是首项为a、公比也为a的等比数列,令Bn=AnlgAn 求数列{Bn}的前n项之和Sn
已知等比数列{an}的通项公式为a=3^(n-1),设数列{bn}满足对任意自然数N都有(b1/a1)+(b2/a2)+
已知a>0,a≠1,数列{An}是首项为a 公比为a的等比数列,令Bn=AnlgAn,1)求数列{Bn}
已知等比数列{an}的首项a1>0,公比q>0.设数列{bn}的通项bn=a(n+1)+a(n+2),数列{an},{b
已知数列{an}满足条件:a1=1,a2=r,且数列{anan+1}是公比为q的等比数列.设bn =a(2n-1)+a(
已知{an}是公差为d的等差数列,{bn}是公比是q的等比数列,找出所有数列{an},{bn},使得对一切n属于N*,a
已知等比数列{an}中,a1=1,公比为q(q不为1,且q不为0),且bn=a(n+1)-an.(1)判断数列{bn}是
已知数列{an}是公差为1的等差数列,{bn}是公比为2的等比数列,Sn,Tn分别是数列{an}和{bn}前n项和,且a
设数列{an}的前n项和为sn.已知a1=a,an+1=sn-3n,n∈N*,设bn=sn-3n,且bn≠0
a,b∈N,{an}是首项为a,公差为b的等差数列,{bn}是首项为b,公比为a的等比数列,且满足a1
a1=a,a2=r(r>0),且数列an*(an+1)是一个以q(q>0)为公比的等比数列.设bn=(a2n-1)+(a