已知数列{an}满足，anan+1=n（n-1）（an+1-an），且a1=0，a2=1．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/09 01:07:07

已知数列{a_n}满足，a_na_n+1=n（n-1）（a_n+1-a_n），且a₁=0，a₂=1．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）设b_n=2

（1）证明：∵a₁=0，a₂=1，依题意只需证明∀n∈N^*，
a_n+1-a_n=a₂-a₁=1，…（1分）
∵a_na_n+1=n（n-1）（a_n+1-a_n），
∴an+1＝
n(n−1)an
n(n−1)−an，n＞1，
∴只需证an+1−an＝
an2
n(n−1)−an＝1，n＞1．…（3分）
即只需证an2＝n(n−1)−an，即只需证an2+an−n(n−1)＝0，
即只需证a_n=n-1或a_n=-n，…（5分）
∵a_n=-n不符合a₂=1，∴只需证a_n=n-1．
数列{n-1}是等差数列，且满足a₁=0，a₂=1，以上各步都可逆
∴数列{a_n}是等差数列 …（7分）
（2）由（1）可知a_n=n-1，∴bn＝2n−1−34，…（8分）
设数列{b_n}的前n项和为T_n，
数列{2^n-1}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{34}是常数列
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=
1−2n
1−2−34n=2ⁿ-34n-1，…（9分）
令bn＝2n−1−34＞0，∴n＞6，∵数列{b_n}是递增数列
∴数列{b_n}前6项为负，以后各项为正 …（10分）
∴当n≤6时，S_n=-T_n=-2ⁿ+34n+1，…（11分）
当n＞6时，S_n=T_n-2T₆=2ⁿ-34n-283．…（12分）
∴Sn＝

−2n+34n+1，n≤6
2n−34n−283，n＞6．…（13分）

如果数列｛an}满足a1=2,a2=1,且（an-1-an)／(anan-1)=(an-an+1)／(anan+1)(n 已知数列{an}满足：a1=1，a2=a（a＞0），数列{bn}满足：bn=anan+2（n∈N*）已知数列an满足an=1+2+...+n,且1/a1+1/a2+...+1/an 已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+1（n∈N*）．若函数bn=anan+1,求数列已知数列an满足an=1+2+...n,且（1/a1）+(1/a2）+...(1/an) 如果数列{an}满足a1=2，a2=1，且an−1−anan−1＝an−an+1an+1（n≥2），则这个数列的第10项已知数列｛an｝满足：a1=1,且an-a（n-1）=2n.求a2,a3,a4.求数列｛an｝通项an 已知数列{an}满足a1=2且anan+1-2an=0球a2,a3,a4的值已知数列{an}中，a1=1，anan+1=2n（n∈N*）已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=an+an+12，n∈N*．关于数列极限的已知数列an满足a1=0 a2=1 an=(an-1+an-2)/2 求lim(n->无穷）an 已知数列{an}满足关系式lg（1+a1+a2+.+an）=n,求数列{an}的通项公式