数学怪题tan(兀/7)tan(2兀/7)tan(3兀/7)＝ sin18＝

数学怪题
tan(兀/7)tan(2兀/7)tan(3兀/7)＝ sin18＝

解法一：
设k∈{1,2,3},令θ=kπ/7,tan3θ+tan4θ=0
(tanθ+tan2θ)/(1-tanθtan2θ)+2tan2θ/[1-(tan2θ)^2]=0
tanθ+3tan2θ-3tanθ*(tan2θ)^2-(tan2θ)^3=0
令tanθ=x,x+6x/(1-x^2)-12*x^3/(1-x^2)^2-8*x^3/(1-x^2)^3=0
(1-x^2)^3+6*(1-x^2)^2-12*x^2*(1-x^2)-8*x^2=0
x^6-21x^4+35x^2-7=0
(tanθ)^2=(tankπ/7)^2为方程y^3-21y^2+35y-7=0三个根
(tanπ/7)^2＊(tan2π/7)^2＊(tan3π/7)^2=7
tanπ/7tan2π/7tan3π/7=√7
解法二：原式＝tanл/7tan2л/7tan3л/7
＝(sinл/7sin2л/7sin3л/7)/( cosл/7cos2л/7cos3л/7)
以下分为分子、分母两部分来求值.先求分母的值：
分母＝cosл/7cos2л/7cos3л/7
＝-cosл/7cos2л/7cos4л/7
＝-(2sinл/7cosл/7cos2л/7cos4л/7)/ 2sinл/7
＝-(2sin2л/7cos2л/7cos4л/7)/ 4sinл/7
＝-(2sin4л/7cos4л/7)/ 8sinл/7
＝-sin8л/7/ 8sinл/7＝sinл/7/ 8sinл/7＝1/8
再求分子：设t＝(sinл/7sin2л/7sin3л/7)
则t2＝(sinл/7sin2л/7sin3л/7)2
t2＝sin2л/7sin22л/7sin23л/7
∴8t2＝(1- cos2л/7)( 1- cos4л/7)( 1- cos6л/7)
＝1-(cos2л/7+cos4л/7+ cos6л/7)- cos2л/7cos4л/7 cos6л/7
+( cos2л/7 cos4л/7+ cos2л/7 cos6л/7+ cos4л/7 cos6л/7)
＝1-(cos2л/7+cos4л/7+ cos6л/7)+ cosл/7cos2л/7cos4л/7
+( cos2л/7 cos4л/7+ cos2л/7 cos6л/7+ cos4л/7 cos6л/7)
＝3/8-(cos2л/7+cos4л/7+ cos6л/7)
而cos2л/7+ cos4л/7+cos6л/7
＝(2sinл/7cos2л/7+ 2sinл/7cos4л/7+2sinл/7cos6л/7)/ 2sinл/7
＝(sin3л/7-sinл/7+ sin5л/7-sin3л/7+ sinл-sin5л/7)/ 2sinл/7
＝-sinл/7/2sinл/7
＝-1/2
∴8t^2＝7/8,又t＞0
∴t＝√7/8,∴tanл/7tan2л/7tan3л/7＝√7
∵sin36°＝cos54°
即sin（2×18°）＝cos（3×18°）
2sin18°cos18°＝4(cos18°)^3－3cos18°
∵cos18°≠0
∴2sin18°＝4(cos18°)^2－3
整理得4(sin18°)＾2＋2sin18°－1＝0
解得sin18°＝（根号5－1）/4
解法2.令x = 18°
∴cos3x = sin2x
∴4(cosx)^3 - 3cosx = 2sinxcosx
∵cosx≠ 0
∴4(cosx)^2 - 3 = 2sinx
∴4sinx2 + 2sinx - 1 = 0,
又0 < sinx < 1
∴sinx = (√5 - 1)/4
即sin18° = (√5 - 1)/4.
解法3.作顶角为36°、腰长为1 的等腰三角形ABC,BD为其底角B的平分线,设AD = x
则AD = BD = BC = x,DC = 1 - x.
由相似三角形得：x2 = 1 - x
∴x = (√ 5 - 1)/2
∴sin18° = x/2 = (√5 - 1)/4.
大丹老师半夜路过此地\(^o^)/~
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