作业帮在边长1分米的正方形内取51个点,求证：可以从中找出3点,以它们为顶点的三角面积不大于50分之1平方分米?
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/20 01:36:19
在边长1分米的正方形内取51个点,求证：可以从中找出3点,以它们为顶点的三角面积不大于50分之1平方分米?
请说对还是不对.并说明理由,理由不要太长,中等即可.请在4月20日之前回答.
请说对还是不对.并说明理由,理由不要太长,中等即可.请在4月20日之前回答.
是对的.
用反证法.不妨假设无三点共线,否则会有三角形面积为0.考虑这51个点的凸包P,这是一个凸多边形.
1、P的边数少于51.则P的内部必有这51个点中的一个,设为Q.可以取一个将Q包含在内部的三角形ABC,使得A、B、C都在51个点中,且ABC内部除Q外无51个点中的其他点.此时由反设,ABC的面积应该大于3/50.
再考虑除Q以外的50个点,它们可以构成48个互不重叠的三角形,不妨设ABC是其中之一（实际上可从ABC出发来构造）.于是除ABC之外的47个三角形面积总和小于47/50,必有一个小于1/50.
2、P是凸51边形.作一个四边与原正方形平行（或重合）的矩形,使得P与矩形的四边均有公共点.因为P是凸51边形,所以矩形四个顶点不可能一起成为P的顶点.取出四个顶点中的一个,使得它不是P的顶点,记为R.取51个点中距R最近的两个,记为A、B.由P的凸性,显然AB是P的一条边.作AB所在的直线,它是P的一条承托直线,且在R附近切出矩形的一“角”：RA'B'.由反设,RA'B'的面积小于1/50.
取剩余49个点中距线段AB最近的一点C,过C作AB的平行线,又切出矩形的一“角”：RC'D'.注意在C'D'的另一侧（含边界）还有49个点,所以RC'D'的面积小于3/50.然后估计两个“角”的面积,可导出矛盾：RC'D'的面积大于0.07.
计算过程大略如下,我使用的参数是：b=A'B'的长度,d=C到AB的距离,l=A'C'的长度[假设它们在矩形的同一边上]以及θ=∠RA'B'
Area(A'B'C) > Area(ABC) > 1/50 => bd > 2/50
l sinθ = d
Area(RA'B') < 1/50 => b^2 sinθ cosθ < 2/50
Area(C'A'D') < Area(RC'D') < 3/50 < 3 Area(ABC) < 3 Area(A'B'C) = 3 Area(A'B'C')
=> (l + b cosθ) tanθ < 3b sinθ
=> 2/50 > b^2 sinθ cosθ > 1/50, lb sinθ > 2/50
=> Area(RC'D') = 1/2 (l + b cosθ)^2 tanθ > 1/2 (2/50 + 4/50 + 1/50) = 0.07
用反证法.不妨假设无三点共线,否则会有三角形面积为0.考虑这51个点的凸包P,这是一个凸多边形.
1、P的边数少于51.则P的内部必有这51个点中的一个,设为Q.可以取一个将Q包含在内部的三角形ABC,使得A、B、C都在51个点中,且ABC内部除Q外无51个点中的其他点.此时由反设,ABC的面积应该大于3/50.
再考虑除Q以外的50个点,它们可以构成48个互不重叠的三角形,不妨设ABC是其中之一（实际上可从ABC出发来构造）.于是除ABC之外的47个三角形面积总和小于47/50,必有一个小于1/50.
2、P是凸51边形.作一个四边与原正方形平行（或重合）的矩形,使得P与矩形的四边均有公共点.因为P是凸51边形,所以矩形四个顶点不可能一起成为P的顶点.取出四个顶点中的一个,使得它不是P的顶点,记为R.取51个点中距R最近的两个,记为A、B.由P的凸性,显然AB是P的一条边.作AB所在的直线,它是P的一条承托直线,且在R附近切出矩形的一“角”：RA'B'.由反设,RA'B'的面积小于1/50.
取剩余49个点中距线段AB最近的一点C,过C作AB的平行线,又切出矩形的一“角”：RC'D'.注意在C'D'的另一侧（含边界）还有49个点,所以RC'D'的面积小于3/50.然后估计两个“角”的面积,可导出矛盾：RC'D'的面积大于0.07.
计算过程大略如下,我使用的参数是：b=A'B'的长度,d=C到AB的距离,l=A'C'的长度[假设它们在矩形的同一边上]以及θ=∠RA'B'
Area(A'B'C) > Area(ABC) > 1/50 => bd > 2/50
l sinθ = d
Area(RA'B') < 1/50 => b^2 sinθ cosθ < 2/50
Area(C'A'D') < Area(RC'D') < 3/50 < 3 Area(ABC) < 3 Area(A'B'C) = 3 Area(A'B'C')
=> (l + b cosθ) tanθ < 3b sinθ
=> 2/50 > b^2 sinθ cosθ > 1/50, lb sinθ > 2/50
=> Area(RC'D') = 1/2 (l + b cosθ)^2 tanθ > 1/2 (2/50 + 4/50 + 1/50) = 0.07
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