作业帮不等式的证明,这道题除了数学归纳法,不等式放缩怎么解
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/30 06:18:00
不等式的证明,这道题除了数学归纳法,不等式放缩怎么解
由√(n-1)+√n＜2√n,两边倒过来化简得：1/√n＜2/[√n+√(n-1)]=2×[√n-√(n-1)]
故原证不等式可化为：
1+1/√2+1/√3+...+1/√n＜2×[√n-√(n-1)+√(n-1)-√(n-2)+...+√2-1=2×(√n-1)
故即证明：2×(√n-1)＜√2(√(2n+1)-1)
下面证明：消去个√2有：√2×(√n-1)＜√(2n+1)-1
将左边张开,把右边的1移过去得：√2n-√2+1＜√(2n+1)
进一步化简得：-√2+1＜√(2n+1)-√2n
因为-√2+1＜0,0＜√(2n+1)-√2n,所以-√2+1＜√(2n+1)-√2n成立
故原所证明不等式成立,证毕
故原证不等式可化为：
1+1/√2+1/√3+...+1/√n＜2×[√n-√(n-1)+√(n-1)-√(n-2)+...+√2-1=2×(√n-1)
故即证明：2×(√n-1)＜√2(√(2n+1)-1)
下面证明：消去个√2有：√2×(√n-1)＜√(2n+1)-1
将左边张开,把右边的1移过去得：√2n-√2+1＜√(2n+1)
进一步化简得：-√2+1＜√(2n+1)-√2n
因为-√2+1＜0,0＜√(2n+1)-√2n,所以-√2+1＜√(2n+1)-√2n成立
故原所证明不等式成立,证毕