作业帮一道积分题:∫1/(1+x^2)^2 dx
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/29 06:40:47
一道积分题:∫1/(1+x^2)^2 dx
如果把括号外面的平方换成三次方四次方呢
如果把括号外面的平方换成三次方四次方呢
记In＝∫1/(1+x^2)^n dx
那么In= ∫1/(1+x^2)^n dx=x/(1+x^2)^n-∫xd(1/(1+x^2)^n)
=x/(1+x^2)^n+2n∫x^2/(1+x^2)^(n+1)dx
=x/(1+x^2)^n+2n∫1/(1+x^2)^ndx-2n∫1/(1+x^2)^(n+1)dx
=x/(1+x^2)^n+2n*In－2nIn+1
最终有
In+1=(2n-1)/2n*In+1/2n*x/(1+x^2)^n
显然I1＝arctan(x)+c
那么I2＝1/2*[x/(1+x^2)+arctan(x)]+c
那么In= ∫1/(1+x^2)^n dx=x/(1+x^2)^n-∫xd(1/(1+x^2)^n)
=x/(1+x^2)^n+2n∫x^2/(1+x^2)^(n+1)dx
=x/(1+x^2)^n+2n∫1/(1+x^2)^ndx-2n∫1/(1+x^2)^(n+1)dx
=x/(1+x^2)^n+2n*In－2nIn+1
最终有
In+1=(2n-1)/2n*In+1/2n*x/(1+x^2)^n
显然I1＝arctan(x)+c
那么I2＝1/2*[x/(1+x^2)+arctan(x)]+c
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