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设m,n是正整数,求证m立方-n的立方是偶数的充要条件是m-n是偶数

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/28 19:07:22
设m,n是正整数,求证m立方-n的立方是偶数的充要条件是m-n是偶数
m立方-n的立方
= m^3 - n^3
= (m - n)(m^2 + mn + n^2)
= (m - n)[(m + n)^2 - mn]
m、n奇偶性可能是:相同,相异
奇偶性相同时,m - n偶、(m + n)^2 - mn或奇或偶,总之(m - n)[(m + n)^2 - mn]为偶.(充分性)
奇偶性相异时,m - n奇、(m + n)^2 - mn奇,总之(m - n)[(m + n)^2 - mn]为奇.(必要性)
证得m立方-n的立方是偶数的充要条件是m-n是偶数