已知函数f（x）=（ax2+bx+c）ex在[0，1]上单调递减且满足f（0）=1，f（1）=0．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/06/10 20:10:22

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x在[0，1]上单调递减且满足f（0）=1，f（1）=0．
（1）求a取值范围；
（2）设g（x）=f（x）-f′（x），求g（x）在[0，1]上的最大值和最小值．

（1）由f（0）=1，f（1）=0得c=1，a+b=-1，则f（x）=[ax²-（a+1）x+1]e^x，
∴f′（x）=[ax²+（a-1）x-a]e^x，
由题意函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x在[0，1]上单调递减可得对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）＜0
当a＞0时，因为二次函数y=ax²+（a-1）x-a图象开口向上，而f′（0）=-a＜0，所以只需要f′（1）=（a-1）e＜0，即a＜1，故有0＜a＜1；
当a=1时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=（x²-1）e^x＜0，函数符合条件；
当a=0时，对于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=-xe^x＜0，函数符合条件；
当a＜0时，因f′（0）=-a＞0函数不符合条件；
综上知，a的取值范围是0≤a≤1
（2）因为 g（x）=f（x）-f′（x）=（ax²-（a+1）x+1）e^x-[ax²+（a-1）x-a]e^x=（-2ax+a+1）e^x，g′（x）=（-2ax-a+1）e^x，
（i）当a=0时，g′（x）=e^x＞0，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1，最大值是g（1）=e
（ii）当a=1时，对于任意x∈（0，1）有g′（x）=-2xe^x＜0，则有g（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=0，最大值是g（0）=2；
（iii）当0＜a＜1时，由g′（x）=0得x=
1−a
2a＞0，
①若
1−a
2a≥1，即0＜a≤
1
3时，g（x）在[0，1]上是增函数，所以g（x）在[0，1]上最大值是g（1）=（1-a）e，最小值是g（0）=1+a；
②若
1−a
2a＜1，即
1
3＜a＜1时，g（x）在x=
1−a
2a取得最大值g（
1−a
2a）=2ae
1−a
2a，在x=0或x=1时取到最小值，
而g（0）=1+a，g（1）=（1-a）e，
则令g（0）=1+a≤g（1）=（1-a）e可得
1
3＜a≤
e−1
e+1；令g（0）=1+a≥g（1）=（1-a）e可得
e−1
e+1≤a＜1
综上，当
1
3＜a≤
e−1
e+1时，g（x）在x=0取到最小值g（0）=1+a，
当
e−1
e+1≤a＜1时，g（x）在x=1取到最小值g（1）=（1-a）e

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,若f(x)在区间(-1,0)上单调递减,则a2+b2的取值范围已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c(1)若函数f（x）在区间【-1,0】上是单调减函数,求已知函数f（x）=x4-4x3+ax2-1在区间[0，1]上单调递增，在区间[1，2]上单调递减．（2014•济南一模）已知函数f（x）=（x2+ax）ex在（0，1）上单调递减．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（4-x）,又函数f（x+2）字在［0,+∞）上单调递减,（1）题求不等式f 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(1+x)=f(1-x).f(0)=3且函数f(x)值域为[o,正无穷）已知定义在R上的函f(x)满足f(x)=f(4-x),又函数f(x+2)在[0,+∞]上单调递减.（1）求不等式f(3x 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0）,对任意实数x满足f(x+1)=f(1-x),且函数y=f(x)的零点有且只已知函数f(x)=ax的三次方+bx的平方+cx+a的平方（a,b,c属于R）的单调递减区间（1,2）,且满足f(0) 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+k满足f'（1）=f'（-2/3）=0 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+k满足f（1）=f（-2/3）=0 已知函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+a^2的单调递减区间是(1,2),且满足f(0)=1,①：求f(x）解析式