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已知函数f(x)=ax3-x2+bx+2(a,b∈R)在区间(-∞,0)及(4,+∞)上都是增函数,在区间(0,4)上是

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/03 17:33:45
已知函数f(x)=ax3-x2+bx+2(a,b∈R)在区间(-∞,0)及(4,+∞)上都是增函数,在区间(0,4)上是减函数.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程.
(I)∵f'(x)=3ax2-2x+b,
又f(x)在区间(-∞,0)及(4,+∞)上都是增函数,在区间(0,4)上是减函数,
∴f'(0)=0,b=0.
又f′(4)=0,a=
1
6.
(II)∵f(x)=
1
6x3−x2+2,得f′(x)=
1
2x2−2x.
当x=1时,f′(1)=−
3
2.
此时y=f(1)=
7
6.
即切线的斜率为-
3
2,切点坐标为(1,
7
6).
所求切线方程为9x+6y-16=0.