x/(1-x^2)展开为x的幂级数,求详细点的展开过程

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 13:33:06

f(x)=x/(1-x^2)
=x/(1-x)(1+x)
=(1/2)*[1/(1-x) - 1/(1+x)]
因为
1/(1-x)=∑(n=0,∞) x^n,x∈(-1,1)
1/(1+x)=∑(n=0,∞) (-x)^n,x∈(-1,1)
所以
f(x)=(1/2)*∑(n=0,∞) [1-(-1)^n] x^n,x∈(-1,1)
写得再清楚一点,就是：
f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞) x^(2n+1),x∈(-1,1)
其实,如果细心一点观察,就可以发现：
x/(1-x^2)=lim(n→∞) x(1-0)/(1-x^2)
=lim(n→∞) x(1-(x^2)^n)/(1-x^2)
这正是首项为x,公比为x^2的等比级数的收敛函数~
因此,直接可推：f(x)=x+x^3+x^5+……=∑(n=0,∞) x^(2n+1),x∈(-1,1)
有不懂欢迎追问
再问：其实还有一问x/(1+x^2)也要求展开，这个没法分解，按照你的方法就做不出来
再答：其实这个也是有两个方法的~~ f(x)=x/(1+^2) f(x)/x=1/(1+x^2) 同取积分： ∫(0,x) f(t)/t dt =∫(0,x) 1/(1+t^2) dt =arctanx =∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1) 然后，同对x求导 f(x)/x=[∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]' =∑(n=0,∞) [(-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]' =∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n) 因此， f(x)=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n+1)，x∈(-1,1) 其实和上一题一样，只要细心一点，就会留意到： x/(1+x^2)=x/(1-(-x^2)) =lim(n→∞) x(1-0)/(1-(-x^2)) =lim(n→∞) x(1-(-x^2)^n)/(1-(-x^2)) 这正是首项为x，公比为-x^2的等比级数的收敛函数~~~ 因此，直接可推：f(x)=x-x^3+x^5-……=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n+1)，x∈(-1,1) 有不懂欢迎追问

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