设f(x)=Σ(n=0..∞)anx^n,an>0,收敛半径R=1,且lim(x->1-)f(x)=s,证明级数Σ(n=

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/27 21:44:32

设f(x)=Σ(n=0..∞)anx^n,an>0,收敛半径R=1,且lim(x->1-)f(x)=s,证明级数Σ(n=0..∞)an收敛且和为s
请问这个题目怎么证明,答案说证明{an}的部分和有上界

由收敛半径R = 1,对任意0 ≤ x < 1,f(x)有定义.
又由a[n] > 0,对任意0 ≤ x < 1,有a[n]·x^n ≤ a[n],故f(x) = ∑a[n]·x^n ≤ ∑a[n].
另x → 1-,得s = lim{x → 1-} f(x) ≤ ∑a[n].(注:这里不排除∑a[n] = +∞的情形).
对任意ε > 0与N > 0,存在δ = 1-1/(1+ε)^(1/N) > 0.
当1 > x > 1-δ,有x^N > (1-δ)^N = 1/(1+ε).
此时有∑{0 ≤ n ≤ N} a[n] = 1/x^N·∑{0 ≤ n ≤ N} a[n]·x^N
≤ 1/x^N·∑{0 ≤ n ≤ N} a[n]·x^n
≤ 1/x^N·∑{0 ≤ n} a[n]·x^n
≤ (1+ε)f(x)
≤ (1+ε)s.
即有∑{0 ≤ n ≤ N} a[n] ≤ (1+ε)s对任意ε > 0与N > 0均成立.
由ε的任意性及s ≥ 0,有∑{0 ≤ n ≤ N} a[n] ≤ s对任意N > 0均成立.
于是正项级数∑a[n]收敛,并成立∑a[n] ≤ s.
综合得∑a[n] = s.

设函数f(x)=Σ(x+1/n)^n ,(1)求f(x)定义域D （2）证明级数在D上不一致收敛设级数∑An收敛,且lim(nAn)=a,证明∑n(An-A(n+1))收敛设f（x）在点x=0的某一邻域内具有二阶连续导数，且limx→0f(x)x=0，证明级数∞n＝1f（1n）绝对收敛已知f（x）=a1x+a2x²+.+anx＾n,且a1,a2.an组成等差数列（n为正整数）,f(1)=n&s 级数收敛证明设f(x)在x=0的某一邻域内具有二阶连续导数,x->0时,f(x)/x->0,证明级数∑f(1/n)绝对收已知函数f(x)==a1x+a2x+…+anx,n∈N+,且f(1)=n^2,求数列{an}的通项公式设f(x)是可导函数且f(0)=0,F(x)=∫t^(n-1)f(x^n-t^n)dt,求lim(x→+∞)F(x)/x a0+0.5a1+.+an/(n+1)=0,证明f(x)=a0+a1x+..+anx^n在(0,1)内至少有1个零根高等数学证明数列收敛f(x)是[1,﹢∞)上非负,单调减,an=∑(1,n) f(k) - ∫(1,n+1)f(x)dx 已知S（x）=a1x+a2x^2+L+anx^n,且a1,a2,L,an,组成等差数列,设S(1)=n^2 设f(x)=lim(n趋于无穷)n次根号下[1+|x|^3n],求f(x)的设函数f（x）=a1+a2X+(a3)^2+…+anx^(n-1),f(x)=1/2,数列满足f（1）=n^2*an(n