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已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2;数列{bn}的首项为1,点P(n,bn)都在斜率为2的同一条直线l

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/28 18:45:20
已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2;数列{bn}的首项为1,点P(n,bn)都在斜率为2的同一条直线l上(以上n∈N*).
求:(1)数列{an}、{bn}的通项公式;
(2)求数列{abn}、{ban}的前n项和.
(1)当n=1时,a1=S1=2a1-2∴a1=2
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2-(2an-1-2)=2an-2an-1
∴an=2an-1
∴{an}是以2为首项,2为公比的等比数列,即an=2n
由题意可知,
bn−b1
n−1=2
∴bn=2n-1
(2)由(1)可知:abn=2bn=22n−1,
数列{abn}的前n项和为21+23+25+…+22n−1=
2−22n−1•4
1−4=
22n+1−2
3
由(1)可知:ban=2an-1=2n+1-1,
数列{ban}的前n项和为:

22−1+23−1+24−1+…+2n+1−1
=(22+23+24+…+2n+1)−(1+1+1+…+1)

22−2n+1×2
1−2−n
=2n+2−n−4