平行四边形的判定n为奇数 为 (1+n)^2/4 n为偶数 为 n(n+2)/4 不懂怎么得到的

平行四边形的判定
n为奇数 为 (1+n)^2/4
n为偶数 为 n(n+2)/4
不懂怎么得到的

我来也!
第n个图形的情况:
上边的火柴数为:[(n+1)/2]----[]表示向下取整
底边的火柴数为:{(n+1)/2}----{}表示四舍五入
为了讨论简单,这里也对n的奇偶性分别进行讨论:
当n=2k-1,k=1,2...,的时候,上下两边的火柴数分别为:k,k
当n=2k,k=1,2,...,的时候,上下两边的火柴数分别为:k,k+1
晚饭后再来继续.
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假设,n时平行四边形的个数为S(n),
按n的奇偶性讨论：
当n=2k-1,k>=1时-------S(n)
n+1=2k,
分析：
2k与2k-1时的图形相比,只是在最右边添一小三角形.那么,S(2k)与S(2k-1)相比,相应的增加了多少个平行四边形呢?新增加的平行四边形一定要包含新添加的三角形.否则就不是“新增加”的平行四边形了.
对照n=3,n=4的原图,类比想象一下,会发现,包含新的三角形的平行四边形数量,正好也就是图形的“上底边”的火柴数量,即k个.所以：
S(2k)=S(2k-1)+k
当n=2k,k>=1时,
n+1=2k+1,
分析：
n+1=2k+1时的图形与n=2k的相比,只是在最右边添一小三角形.那么,S(2k+1)与S(2k)相比,相应的增加了多少个平行四边形呢?新增加的平行四边形一定要包含新添加的三角形.否则就不是“新增加”的平行四边形了.
对照n=2,n=3的原图,类比想象一下,会发现,包含新的三角形的平行四边形数量,正好也就是图形的“下底边”的火柴数量,即k+1个.所以：
S(2k+1)=S(2k)+(k+1)
这样,我们得到两个递推关系式：
S(2k)=S(2k-1)+k ,k>=1
S(2k+1)=S(2k)+(k+1),k>=1
把两个式子合写成一个,即：
S(n)=S(n-1)+{n/2}-------n>=2,即：
由于 {n/2}=n/2+(1-(-1)^n)/4---------{}表示四舍五入啊
所以：
S(n)=S(n-1)+n/2+ (1-(-1)^n)/4 -----------n>=2,
把n换成n+1,就可以得到：
S(n+1)=S(n)+(n+1)/2+ (1-(-1)^(n+1))/4----n>=1
化简得到：
S(n+1)=S(n)+n/2+3/4+ ((-1)^n)/4----n>=1
下面再求S(n)的通项,很容易了.
只要写出来几个就很明显了.如下：
S(n+1)=S(n)+n/2+3/4+ ((-1)^n)/4
=S(n-1)+(n-1)/2+3/4+ ((-1)^(n-1))/4 + n/2+3/4+ ((-1)^n)/4
=S(n-2)+.
不用都写出来啊,写几项找找规律,就可以了,S(n+1)的表达式,应该是一个常数数列,一个等差数列,一个公比为-1的等比数列的和.
要不,就从S(1)开始看起：
S(1)=1---------------------------从n=1的图中得出来的.S(1)代入下式
S(2)=S(1)+1/2+3/4-1/4=?----------利用递推公式得到的.S(2)代入下式
S(3)=S(2)+2/2+3/4+1/4=?---------递推公式.
S(4)=S(3)+.
把里面的S(2),S(3)都展开代入,就能找到规律了
既然你有答案,我就不再给写了.