已知函数f（x）=a•2x-1+2-x（a为常数，x∈R）为偶函数．

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/01 09:18:16

已知函数f（x）=a•2^x-1+2^-x（a为常数，x∈R）为偶函数．
（1）求a的值；并用定义证明f（x）在[0，+∞）上单调递增；
（2）解不等式：f（2log_ax-1）＞f（log_ax+1）．

（1）f（x）为偶函数，所以f（1）=f（-1），
即：a+
1
2＝
1
4a+2，解得：a=2
证明：设x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂∴f（x₁）-f（x₂）=2x1+2−x1−2x2−2−x2=(2x1−2x2)(1−
1
2x1+x2)
∵x₁＜x₂，∴2x1−2x2＜0
∵x₁，x₂∈[0，+∞），∴1−
1
2x1+x2＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）=2^x+2^-x在[0，+∞）上单调递增．
（2）f（x）为偶函数，a=2，
不等式f（2log_ax-1）＞f（log_ax+1）
变为f（|2log₂x-1|）＞f（|log₂x+1|），
由于f（x）=2^x+2^-x在[0，+∞）上单调递增，
所以|2log₂x-1|＞|log₂x+1|，
两边平方，得：log₂²x-2log₂x＞0，
∴log₂x＜0，或log₂x＞2
∴0＜x＜1，或x＞4

已知二次函数f（x）=（a+1）x2+（a2-1）x+1（a为常数）是R上的偶函数．（2013•闸北区二模）设定义域为R的函数f（x）=2x+1a+4x为偶函数，其中a为实常数．已知函数f（x）=x2+|x+a|+b（x∈R），求证：函数f（x）是偶函数的充要条件为a=0．已知函数y=f（x），x∈R满足f（x）=af（x-1），a是不为0的实常数．已知函数f(x)=ax^2-x+2a-1（a为实常数）已知函数f(x)＝cos(2x+π)+3cos(2x−3π2)+a（a为常数，x∈R）．已知函数f(x)=ax²-|x|+2a-1（a为实常数）已知函数f(x)=x^2+a/x(x≠0,常数a∈R). 若函数f(x)在x∈[2,+∞）上为增函数,求a的范围已知f(x)=2sin(2x+π/6)+a+1(a∈R,a为常数）（文）已知函数f(x)＝a•2x+a2−22x−1(x∈R，x≠0)，其中a为常数，且a＜0．已知定义在实数集R上的偶函数f(x)的最小值为3,且当x≥0时,f(x)=3e^x+a(a为常数）.求函数f（x）解析式已知定义在实数集R上的偶函数f(x)的最小值为3,且当x≥0时,f(x)=3e^x+a（a为常数）,求函数f(x)的解析