作业帮级数条件收敛,绝对收敛的判断,求具体步骤解析,如图第四题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/20 14:53:27
级数条件收敛,绝对收敛的判断,求具体步骤解析,如图第四题
sin((n²+nα+1)π/n) = sin(nπ+(α+1/n)π) = (-1)^n·sin((α+1/n)π).
当n → ∞,有sin((α+1/n)π) → sin(απ).
级数收敛的一个必要条件是通项趋于0,这要求sin(απ) = 0.
故α不为整数时级数发散,D不正确.
当α为整数时,(-1)^n·sin((α+1/n)π) = (-1)^n·sin(απ+π/n) = (-1)^(n+α)·sin(π/n).
这是一个交错级数,且当n > 1,通项的绝对值sin(π/n)对n单调递减趋于0.
根据Leibniz判别法,级数收敛,A不正确.
当α为整数时,|sin((n²+nα+1)π/n)| = sin(π/n).
lim{n → ∞} sin(π/n)/(1/n) = π,即sin(π/n)与1/n是同阶无穷小.
而正项级数∑1/n发散,根据比较判别法,∑|sin((n²+nα+1)π/n)| = ∑sin(π/n)也发散.
因此级数不是绝对收敛的,B不正确.
收敛而不绝对收敛即条件收敛,C正确.
当n → ∞,有sin((α+1/n)π) → sin(απ).
级数收敛的一个必要条件是通项趋于0,这要求sin(απ) = 0.
故α不为整数时级数发散,D不正确.
当α为整数时,(-1)^n·sin((α+1/n)π) = (-1)^n·sin(απ+π/n) = (-1)^(n+α)·sin(π/n).
这是一个交错级数,且当n > 1,通项的绝对值sin(π/n)对n单调递减趋于0.
根据Leibniz判别法,级数收敛,A不正确.
当α为整数时,|sin((n²+nα+1)π/n)| = sin(π/n).
lim{n → ∞} sin(π/n)/(1/n) = π,即sin(π/n)与1/n是同阶无穷小.
而正项级数∑1/n发散,根据比较判别法,∑|sin((n²+nα+1)π/n)| = ∑sin(π/n)也发散.
因此级数不是绝对收敛的,B不正确.
收敛而不绝对收敛即条件收敛,C正确.