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如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.O为BC边上一点,以O为圆心,OB为半径作半圆

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/03/28 19:14:05
如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4.O为BC边上一点,以O为圆心,OB为半径作半圆
与BC边和AB边分别交于点D、点E,连接DE.过点E作∠DEF=∠ABC,交AC于点F.
(1)求证△AEF是等腰三角形(2)若DC=1,求线段DE的长(3)求证EF是⊙O的切线.
(1)∵∠C=90°,AC=3,BC=4,
∴AB=5,
∵DB为直径,
∴∠DEB=∠C=90°,
又∵∠B=∠B,
∴△DBE∽△ABC,
∴ DE\x09AC = BD\x09AB ,
即 DE\x093 = 3\x095 ,
∴DE= 9\x095 ;
魔方格
(2)证法一:连接OE,
∵EF为半圆O的切线,
∴∠DEO+∠DEF=90°,
∴∠AEF=∠DEO,
∵△DBE∽△ABC,
∴∠A=∠EDB,
又∵∠EDO=∠DEO,
∴∠AEF=∠A,
∴△FAE是等腰三角形;
证法二:连接OE
∵EF为切线,
∴∠AEF+∠OEB=90°,
∵∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∵OE=OB,
∴∠OEB=∠B,
∴∠AEF=∠A,
∴△FAE是等腰三角形.