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如图,已知在正方形ABCD中,AB=2,P是边BC上的任意一点,E是边BC延长线上一点,联结AP.过点P

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/11/01 07:05:38
如图,已知在正方形ABCD中,AB=2,P是边BC上的任意一点,E是边BC延长线上一点,联结AP.过点P
作PF⊥AP,与∠DCE的平分线CF相交于点F.联结AF,与边CD相交于点G,联结PG.(1)求证AP=FP(2)圆P,圆G的半径分别是PB和GD,试判断圆P与圆G的位置关系,并说明理由(3)当BC取何值时,PG∥CF

如图,过点F做FM⊥BE于M,设PF交CD于N,设BP=a,PC=b,CM=FM=x
∴△ABP∽△PMF
∴BP/MF=AB/PM
∴a/x=(a+b)/(b+x)
∴a=x
在△ABP和△PMF中
BP=FM,∠ABP=∠PMF=90º,∠BAP=∠MPF
∴△ABP≌△PMF
∴AP=PF
圆P和圆G相外切
(2)因为AP=FP,PF⊥AP
故:∠PAG=45度,故:∠BAP+∠DAG=45度
把△ABP绕A逆时针旋转90度,使AB与AD重合,P点旋转到N点
故:AP=AN,DN=BP,∠DAN=∠BAP
因为∠ADG=∠B=90度
故:N、D、G三点在同一条直线上
故:∠GAN=∠DAG+∠DAN=∠DAG+∠BAP=45度
因为AG=AG
故:△APG≌△ANG
故:PG=NG=GD+DN=GD+BP
因为⊙P、⊙G的半径分别是PB和GD
故:⊙P与⊙G两圆的位置关系是外切
(3)如果PG‖CF,则:∠GPC=∠ECF=45度
故:∠GPC=∠PGC=45度
故:PC=CG
故:BP=GD
设:BP=GD=x,因为AB=2,PG=GD+BP
故:PC=CG=2-x,PG=2x
在Rt△PCG中,PG²=PC²+CG²
(2x )²=(2-x)²+(2-x)²
故:x=2√2-2
故:当BP取2√2-2时,PG‖CF