任意以2π为周期的函数用三角级数表示的可能性

任意以2π为周期的函数用三角级数表示的可能性
请问任意一个定义在R上周期为2π的函数是否都可以展开成一个处处收敛的三角级数,回答者最好能提供相应的文献资料,

看了半天没明白你到底知道哪些又想问什么
有关 Fourier 级数的基本问题一般都能在 Zygmund 的两卷书里找到
Antoni Zygmund, Trigonometric series, Vol. I, II
简单解释一下你问的问题
1. "定义在R上周期为2π的函数是否都可以展开成一个处处收敛的三角级数"
显然完全没有希望.暂且不论展开式是否收敛到原来的函数,可以展开的函数至少也要足够的连续性（事实上是可积性）,随便找一个不可积函数就可以了.
如果要考虑收敛性,注意 Fourier 级数是连续函数的极限,最多只能收敛到第一类 Baire 函数,对于更高的 Baire 函数类不可能指望其 Fourier 级数（假定存在）收敛到本身.
2. "Σsin（nx）/ln(n)处处收敛但不是任何一个可和函数的傅里叶级数"
假定其 Lebesgue 可积,那么该函数的展开式是唯一的,对它做 Lebesgue 意义的不定积分
F(x)=int_0^x Σsin（nx）/ln(n) dx
cos（nx）项的系数是 1/[nln(n)]
由于 F(x) 一定绝对连续,利用 Jordan 判别法知其 Fourier 级数处处收敛,但显然 x=0 处不收敛.
3. 估计你还想要这两个结论（非常难证）
对于p>1,L^p 中函数的 Fourier 级数几乎处处收敛
Kolmolgorov 构造了 L^1 中的函数,其 Fourier 级数处处发散
再问： 感谢你的耐心。各位的讨论里，似乎不怎么区分三角级数和傅里叶级数，这就是我的疑问。这岂不是意味着：任何函数如果能够表示成一个处处收敛的三角级数，那么这个三角级数就必然是它的傅里叶级数？ 而实际上，这方面我看到过的最好结论是：任何勒贝格可积函数，如果能够展开成一个处处收敛的三角级数，则该三角级数就是它的傅里叶级数。要扩充这个定理显然要涉及到勒贝格积分定义的进一步推广。（未完，请看下面yepp-yepp的追问）
再答： 从你的叙述来看你对 "Fourier级数" 这个术语的定义和常用的定义不完全相同，如果你想进一步讨论就有必要使用常用的定义，或者对你的术语给出定义。 对于一个 [-pi,pi] 上函数 f(x)，按照 Euler-Fourier 积分公式可以得到两组常数 a_n, b_n（假定存在），那么 sum a_n cos(nx) + b_n sin(nx) 就称为 f(x) 的 Fourier 级数。不用管这个级数是否收敛，或者是否收敛到 f(x)。 （这是狭义的 Fourier 级数，推广的定义也只是放到 Hilbert 空间里按正交基展开，同样跟经典的收敛性没有关系） 三角级数和 Fourier 级数的区别仅仅在于系数没有要求一定要来源于某个 f(x)，但共同点是它们都只是形式级数，所以很多语境下不需要进行区分。 在经典的点态收敛意义以及 Riemann 积分下当然也可以讨论 Fourier 级数的收敛性，但结果要差很多，严重制约了 Fourier 级数的应用。但是从一些简单的例子可以看出 Fourier 级数在区间上的整体逼近效果比较好（说明有价值），只有少数点有问题，所以才要引进新的收敛性意义（对有价值的东西给出合理的解释），在 Lebesgue 积分体系建立后很自然地就会放到 L^p 空间去讨论。