高中不等式中a方+b方>=2ab和a+b>=2根号ab有什么不同,为什么要有一正,二定,三相等的条件才能用这个公式?

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 03:22:51

不同：a²+b²≥2ab　对一切实数a,b都成立；
而a+b≥2√(ab) 则要求a,b是非负实数,在使用时,a,b通常是正数.
(注：√(ab)表示根号下ab）
上述两个不等式取“＝”时的充要条件都是a=b,这在利用基本不等式求最值时是十分重要的.
先看一个例子：
例1.求f(x)=x+9/x　（x>0)的最小值,并求取得最小值时的x值.
∵x>0,∴f(x)=x+9/x ≥2√(x•9/x)=6,
当且仅当　x=9/x (即x=3)时,上式取“＝”号,
∴当x=3时,f(x)=x+9/x的最小值为6.
分析：
（1）若将题中条件“x>0”改为“x≠0”,就不能使用不等式　x+9/x ≥2√(x•9/x)　　（因为x+9/x有可能是负的）；
（2）上述解法正确还依赖于两个重要条件：其一,x•9/x=9是常数（定值）,从而保证求出f(x)的最小值是一个确定的数（常数6）；其二,x=9/x （即x=3)能够成立,从而保证使用不等式时“＝”能够成立,进而确保了函数能够取到最值.这在利用基本不等式求最值时是十分重要的.
下面的例子就不能直接使用基本不等式来求最值：
例2.求f(x)=x+2 + 1/(x+2) 当x≥0时的最小值
∵x+2 + 1/(x+2) ≥2√[(x+2)•1/(x+2) ]=2
∴ f(x)=x+2 + 1/(x+2)的最小值为2.
分析：这显然是错误的,：∵x≥0,∴x+2 ≥2,而1/(x+2)≤1/2,二者不可能相等,
从而不等式　　x+2 + 1/(x+2) ≥2√[(x+2)•1/(x+2) ]　不能取等号,
所以　f(x)>2而不能等于2.
这个解法的错误实质就是违背了“三要素”中的“三相等”.
注：此题f(x)的最小值为5/2,可用导数知识去解.

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