作业帮大学微积分,关于偏导和全微分的两道习题
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/01 16:47:17
大学微积分,关于偏导和全微分的两道习题
如题,但是有点小矛盾
若在求偏导时把y看成常数,不能先求全微分并把dy换成dx,第二道题求偏导答案中,却出现了先求du=…dx…dy…dz,并把dy、dz换成dx、dt,这是不是矛盾呢?
；如果要把y看成x的函数,dy能换的话,第一题的两个数值是否就一样了呢（第一题答案中没换,第二题换了,虽然答案不一定对）
如果以后再碰到z是关于x,y的函数,y是关于x的函数,求x偏导时到底能不能把y看成常数呢
如题,但是有点小矛盾
若在求偏导时把y看成常数,不能先求全微分并把dy换成dx,第二道题求偏导答案中,却出现了先求du=…dx…dy…dz,并把dy、dz换成dx、dt,这是不是矛盾呢?
；如果要把y看成x的函数,dy能换的话,第一题的两个数值是否就一样了呢（第一题答案中没换,第二题换了,虽然答案不一定对）
如果以后再碰到z是关于x,y的函数,y是关于x的函数,求x偏导时到底能不能把y看成常数呢
你需要注意,偏导数和微分是不同的
(偏z/偏x)和(dz/dx)只是看起来像
它们有一个最大的不同就是,(dz/dx)中的dz和dx分开也是有意义的
但是(偏z/偏x)如果分开就没有意义了
对z=z(x,y)
dz=(偏z/偏x)dx+(偏z/偏y)dy
所以求偏导数有两个基本方法
一是把y当常数,把z看成z(x,y0)=z(x)
这样做的结果是上式中的dy=0,此时有dz=(偏z/偏x)dx,即dz/dx=(偏z/偏x)
所以用一元函数求导的方法就可以求出偏导数
(偏z/偏x)=y/(1+x^2y^2)
第二种方法是完整求出z的全微分,用比较系数法,其中dx的系数就是(偏z/偏x)
dz=(ydx+xdy)/(1+x^2y^2)
显然dx的系数为(偏z/偏x)=y/(1+x^2y^2)
如果想求dz/dx,就要继续把dy化成dx将dy=ydx代入上式
dz=(ydx+xdy)/(1+x^2y^2)=(ydx+xydx)/(1+x^2y^2)=y(1+x)dx/(1+x^2y^2)
所以dz/dx=y(1+x)/(1+x^2y^2)
为了方便起见我没有把y=e^x代入结果,如果是题目直接问的一般要换,否则不用
对第二道题,由于u没有具体的表达式,所以没有办法用上述的第一种方法来算,只能用第二种方法
再问： 答案上算的 偏z\偏x确实是你的答案。。我不明白的是，“如果想求dz/dx，就要继续把dy化成dx将dy=ydx代入上式”，那求偏导的时候为什么不能也把dy带入式子、合并呢？或者在求导之前，先把y变成e^x，求一元函数的导数，得出的答案也不对（当然也有可能是答案错了。） 如果说是因为求偏导要把y看成常数的话，那第二题也是求偏导，也是用第二种方法，却可以把dy、dz化成dt、dx然后合并，这是为什么呢。。。不知道我说清楚了没。。
再答： 用方法一求偏导数的时候已经假设y为常数,即dy=0,所以不存在使用dy的情况,也不能把y变成e^x,因为e^x不是常数 而用方法二的时候,是用对比系数,要是把dy代进去了意义就不对了 第二题所有的函数都没有解析式,所以情况稍有不同,计算结果要借助复合函数 我就只说明你不清楚的一点 虽然u=f(x,y,z) 但是(偏u/偏x)并不等于(偏f/偏x) 事实上后者等于前者的一部分 因为在计算(偏u/偏x)时是假设dt=0 而计算(偏f/偏x)时是假设dy=0且dz=0 这里你看题目让求的是(偏u/偏x)，(偏u/偏t)， 所以要把u表示成x和t的函数，即u=u(x,t) 但是我们并没有u，x，t的关系式， 所以我们只能借助复合函数的微分关系来计算 与第一题有解析形式的相比，第一题中的最后结果只能含自变量x 而第二题的结果却含有乱七八糟的其它中间变量的偏导数
(偏z/偏x)和(dz/dx)只是看起来像
它们有一个最大的不同就是,(dz/dx)中的dz和dx分开也是有意义的
但是(偏z/偏x)如果分开就没有意义了
对z=z(x,y)
dz=(偏z/偏x)dx+(偏z/偏y)dy
所以求偏导数有两个基本方法
一是把y当常数,把z看成z(x,y0)=z(x)
这样做的结果是上式中的dy=0,此时有dz=(偏z/偏x)dx,即dz/dx=(偏z/偏x)
所以用一元函数求导的方法就可以求出偏导数
(偏z/偏x)=y/(1+x^2y^2)
第二种方法是完整求出z的全微分,用比较系数法,其中dx的系数就是(偏z/偏x)
dz=(ydx+xdy)/(1+x^2y^2)
显然dx的系数为(偏z/偏x)=y/(1+x^2y^2)
如果想求dz/dx,就要继续把dy化成dx将dy=ydx代入上式
dz=(ydx+xdy)/(1+x^2y^2)=(ydx+xydx)/(1+x^2y^2)=y(1+x)dx/(1+x^2y^2)
所以dz/dx=y(1+x)/(1+x^2y^2)
为了方便起见我没有把y=e^x代入结果,如果是题目直接问的一般要换,否则不用
对第二道题,由于u没有具体的表达式,所以没有办法用上述的第一种方法来算,只能用第二种方法
再问： 答案上算的 偏z\偏x确实是你的答案。。我不明白的是，“如果想求dz/dx，就要继续把dy化成dx将dy=ydx代入上式”，那求偏导的时候为什么不能也把dy带入式子、合并呢？或者在求导之前，先把y变成e^x，求一元函数的导数，得出的答案也不对（当然也有可能是答案错了。） 如果说是因为求偏导要把y看成常数的话，那第二题也是求偏导，也是用第二种方法，却可以把dy、dz化成dt、dx然后合并，这是为什么呢。。。不知道我说清楚了没。。
再答： 用方法一求偏导数的时候已经假设y为常数,即dy=0,所以不存在使用dy的情况,也不能把y变成e^x,因为e^x不是常数 而用方法二的时候,是用对比系数,要是把dy代进去了意义就不对了 第二题所有的函数都没有解析式,所以情况稍有不同,计算结果要借助复合函数 我就只说明你不清楚的一点 虽然u=f(x,y,z) 但是(偏u/偏x)并不等于(偏f/偏x) 事实上后者等于前者的一部分 因为在计算(偏u/偏x)时是假设dt=0 而计算(偏f/偏x)时是假设dy=0且dz=0 这里你看题目让求的是(偏u/偏x)，(偏u/偏t)， 所以要把u表示成x和t的函数，即u=u(x,t) 但是我们并没有u，x，t的关系式， 所以我们只能借助复合函数的微分关系来计算 与第一题有解析形式的相比，第一题中的最后结果只能含自变量x 而第二题的结果却含有乱七八糟的其它中间变量的偏导数