f(x+y)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)*f(y) 求证：f(x)=x,对于所有实数都成立

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 02:22:24

f(x+y)=f(x)+f(y),f(xy)=f(x)*f(y) 求证：f(x)=x,对于所有实数都成立
如题,
以证明 f(x)=x对于有理数成立,但现在不知道怎么证明它对无理数成立.
以=已
忘说了，这个函数是连续的

这就是柯西方程,既然已经连续,可以用高等数学来做就好
证明,由于是连续的
f(x+dx)=f(x)+f(dx)=>(f(x+dx)-f(x))=f(dx)=>(f(x+dx)-f(x))/dx)=f(dx)/dx
当dx->0时有对任意x满足
f'(x)=f'(0)=k
=>f(x)=kx+b
=>f(x+y)=f(x)+f(y)=>k(x+y)+b=k(x+y)+2b=>b=0
f(xy)=f(x)*f(y)=>看kxy=k^2xy(对任意x,y成立）=>k^2=k=>k=0或者1
=>f(x)=0或者x
希望能够帮到你,祝好~
再问：这个题后面的提示说，两个实数之间一定有一个有理数，能否用这个线索做呢？谢谢啊
再答：假如要用初等方法的话首先对任意有理数很容易证明 f(x)=x 下面证明对任何实数有f(x)=x 首先设这个实数为a，则对任意实数ξ，存在有理数x1满足|x1-a|

f(x)对于任意实数xy总有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)成立,求证f(x)为偶函数已知函数f(x),若f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意实数x,y都成立. 求证f(2x)=2f(x) 已知函数f(x)对于任意实数xy 满足f(x+y)=f(x)+f(y).求证f(x-y)=f(x)-f(y) 已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立函数y=f(x)对于任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)×f(y).当x>1时,f(x)0) f(xy)=f(x)+f(y),证明f(x/y)=f(x)-f(y) f(x)是定义域在正实数的递增函数,且f(xy)=f(x)+f(y),求证：f(x/y)=f(x)+f(y) 已知函数f(x)对于任意非零实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y) 恒成立,且当x>1时,f（x）>0,(1)求证已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.求f(0)与f(1)的值. 已知函数f(x）对任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)成立.求f(0)与f(1)的值对于xy都有f(x+y)=f(x)+f(y)且x>0都有f(x)