已知正三棱锥的侧棱长为10cm,侧面积为144cm^2,求该棱锥的底面边长和高.

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 19:25:15

已知正三棱锥的侧棱长为10cm,侧面积为144cm^2,求该棱锥的底面边长和高.
怎么算正三棱锥的高？

这个容易算的,我只是提供思路,具体的计算你自己去算.
由于是正三棱锥,所以底面是等边三角形,侧面是三个全等的等腰三角形,棱锥顶点在底面的投影在中心位置.
由于知道侧面积及侧棱长,用正弦定理可求出侧面顶角度数.设侧面顶角为 a,则 144/3=1/2*10*10*sina,可以解得顶角 a=arcsin0.96 或 a=pai-arcsin0.96这两种结果.
下面以第一种情况为例（第二种是解法思路是一样的,你自己去解）：
侧面斜高就是：h侧=10*cos(1/2*arcsin0.96)
根据余弦定理,可求得侧面底边长为 b=sqrt(10^2+10^2-2*10*10*cos(arcsin0.96))
由于底面是等边三角形,棱锥顶点在底面的投影也即是重心位置,重心到边的距离是：边长*1/3,所以底面边心距为 1/3*b（b用上面那个式子代入）,这样底面边心距知道了,侧面斜高知道了,用勾股定理可求得正三棱锥体的高,即侧面斜高平方减去底面边心距平方再开方就行了.
再问： a=arcsin0.96 或 a=pai-arcsin0.96 这是什么？
再答： arcsin0.96是反正弦，求角度的，圆周率我打不出来就用 pai 就表示了。一楼的方法比较简洁，你按照他的思路去解吧。
再问：可是算出边长后，怎么算棱锥的高？
再答：边长算出来后接下去就很简单了， 1. 用边长的一半和侧棱长用勾股定理解出斜高 2. 用边长乘于二分之根号3得到底面三角形的高，再用它乘于1/3 得到底面边心距 3. 用上述得到的斜高平方减去边心距平方再开方就是棱锥的高了（说明：我最上面的回答有误，不好意思，就是那个边心距应是底面正三角形的高的1/3 ，我误写成边长的1/3 了，sorry）

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