10个平面可将空间分成M个部分,则M的最大值为

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/30 02:01:05

这个问题得从n条直线最多将平面分为几个部分入手.
设n条直线最多将平面分为a(n)部分,易见a(1) = 2.
考虑在已经有n条直线的平面上再增加一条直线,平面被分成的部分数会增加多少.
容易知道,部分数的增加值恰好等于这最后一条直线被前n条直线分成的段数.
也即与前n条直线的不同交点的个数+1.
因此部分数的增加值不超过n+1,且n+1总是可以取到的(只要最后一条直线不经过已有的交点).
可得到递推公式a(n+1) = a(n)+n+1,则a(n) = 2+2+3+...+n.
由等差数列求和得a(n) = 2+(n-1)(2+n)/2 = (n²+n+2)/2.
设n个平面最多将空间分为b(n)部分,易见b(1) = 2.
和直线的情况一样,在已有的n个平面基础上再添加一个平面时,
空间的部分数的增加值等于等于最后一个平面被前n个平面分成的部分数.
平面的交线是直线,因此即为最后一个平面被某n条(可能重合的)直线分成的部分数.
由上面结果,这个部分数不超过a(n),且a(n)总是可以取到的:
只要最后一个平面与之前的平面都相交,且不经过已有的交线以及已有的3个平面的交点.
于是可得递推公式b(n+1) = b(n)+a(n) = b(n)+(n²+n+2)/2 = b(n)+n(n+1)/2+1.
b(n) = 2+(1·2/2+1)+(2·3/2+1)+(3·4/2+1)+...+((n-1)n/2+1).
用公式:1·2+2·3+3·4+...+(n-1)n = n(n²-1)/3 (由3k(k+1) = k(k+1)(k+2)-(k-1)k(k+1)裂项证明).
可以得到:b(n) = 2+n(n²-1)/6+(n-1) = (n³+5n+6)/6.
代入n = 10得b(10) = 176.

空间三个平面两两相交,将空间最多分成m个部分,最少分成n个部分,则m+n=? 平面n条直线最可将平面分成1+n(n+1)/2个部分,则空间内n个平面最多可将空间分成----------个部分? 空间内n个平面最多可将空间分成多少个部分三个不重合的平面,最少把空间分成m个部分,最多分成n个部分,则m、n为多少?答案是m=4,n=8 n个平面最多可将空间分成多少个部分 N个平面可把空间分成几个部分请问 n个平面将空间最多分成几部分以四面体的四个面为四个平面,可将空间分成几部分? 三个平面将空间最少分为M部分,最多分成N部分,M+N等于多少? 两两相交的三个平面将空间分成______个部分．两条直线AB、CD被第三条直线EF所截,交点为M、N,那么这三条直线将所在的平面分成多少个部分平面上的4条直线,5个圆最多可将平面分成多少个部分?