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如果一个三角形的面积和周长都被一条直线所平分,求证:该直线一定通过这个三角形的内心.

来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:数学作业 时间:2024/04/25 04:40:26
如果一个三角形的面积和周长都被一条直线所平分,求证:该直线一定通过这个三角形的内心.
平分周长和面积的直线不一定就是中线 如果一定是的话就把问题特殊化了。这个问题是建立在任意三角形上的。
这道题是我输错了 本来是一道选择题 我把它改成证明题写上来的。这样的话 如果是中线 就应该选内心 和 重心了。
(1)当分成是两个三角形的情况
根据三角形的面积被平分
可知这条线段是中线
又结合周长被平分
可推出两腰相等
根据三线合一的知识
等腰三角形的中线即是角平分线
故该直线一定通过这个三角形的内心
(2)当分成的是一个四边形和一个三角形内个的情况
我们可以设这条线上找一点到三边的距离分别为h1、h2、h3,且和h1=h2
分成的线段为a、b、c、e、f
由a+b+c=e+f eh1+fh2=ah1+ch2+bh3
将等式化简可以得到h1=h3
故直线一定过内心