在平面直角坐标系中，已知三点A（-2，0）、B（2，0） C(1， 3 ) ，△ABC的外接圆为圆，椭圆 x 2 4 +

来源：学生作业帮编辑：拍题作业网作业帮分类：数学作业时间：2024/04/28 04:35:09

（1）法一设圆M的方程为x² +y² +Dx+Ey+F=0，
因为圆M过A，B，C，
所以
(-2 ) 2 -2D+F=0
2 2 +2D+F=0
1+3+D+
3 E+F=0 （4分）
解得D=E=0，F=-4，故圆M方程为x² +y² =4．（6分）
解法二：由题意知 A(-2，0)，B(2，0)，C(1，
3 ) ，
所以K_AC =
3
3 ， K BC =-
3 ，则K_AC •K_BC =-1
所以AC⊥BC，所以△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，（4分）
所以外接圆M以原点O为圆心，线段AB为直径，故其方程为x² +y² =4．（6分）
（2）直线PQ与圆M相切．
下证明这个结论：由椭圆E的方程
x 2
4 +
y 2
2 =1，可知 F(
2 ，0) ，（8分）
设P（x₀ ，y₀ ）（x₀ ≠±2），则y₀ ² =4-x₀ ² ．
当x₀ =
2 2时， P(
2 ，±
2 )，Q(2
2 ，0)， K OP =1， K PQ =-1，
所以OP⊥PQ所以直线PQ与圆M相切．（10分）
当x₀ ≠
2 6时，k_FP =
y 0
x 0 -
2 ， k OQ =-
x 0 -
2
y 0 7，
所以直线OQ的方程为y=-
x 0 -
2
y 0 x，因此，
点Q的坐标为 (2
2 ，-
2
2 x 0 -4
y 0 ) ，
所以k_PQ =-
x 0
y 0 ，（12分）
所以当x₀ =0时，k_PQ =0，OP⊥PQ，直线PQ始终与圆M相切；
当x₀ ≠0时，k_PQ •k_OP =-1，OP⊥PQ，直线PQ始终与圆M相切．
综上，当x₀ ≠±2时，总有OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆M相切．（16分）