作业帮对于函数y=2sin(2x+π/3)+1
来源：学生作业帮 编辑：拍题作业网作业帮 分类：数学作业 时间：2024/04/27 19:19:51
对于函数y=2sin(2x+π/3)+1
（1）求定义域和值域（2）求函数的最小正周期（3）求函数的单调递增区间（4)若x∈[-π/4,π/4]时,求函数的值域(5)写出函数的对称轴方程和对称中心.求各个小题的超详细的解题过程
（1）求定义域和值域（2）求函数的最小正周期（3）求函数的单调递增区间（4)若x∈[-π/4,π/4]时,求函数的值域(5)写出函数的对称轴方程和对称中心.求各个小题的超详细的解题过程
（1）x 可取任意实数,所以定义域为 R：(-∞,+∞)；
当正弦函数 sin(2x +π/3) 取极大值或极小值时,相应函数 y 取极大值或极小值；所以最大 f(x)=2*1+1=3,最小 f(x)=2*(-1)+1=-1；即值域为 [-1,3]；
（2）最小正周期 T=2π/2=π；
（3）正弦函数的单调区间等同于函数 y 的单调区间；设 k 为整数,则：
当 2kπ-(π/2)≤2x+(π/3)≤2kπ+(π/2),即 kπ-(5π/12)≤x≤kπ+(π/12),函数单调增加；
（4）x∈[-π/4,π/4],则 2x +(π/3)∈[-π/6,5π/6],sin(2x +π/3) 的最大值是 sin(π/2)=1,最小值是 sin(-π/6)=-1/2；对应 y∈[0,3]；
（5）对称轴位于函数的极值点处,即当 2x +π/6=2kπ ±π/2 → x=kπ-(π/12)±(π/4)；
对称轴方程为 x=kπ +(π/6),或 x=kπ-(π/3)；
（正弦函数的）对称中心即函数的均值点（y=1）,即 sin(2x +π/3) 的零值点；
令 sin(2x +π/3)=0,得 2x +π/3=kπ；整理后表示为 x=(kπ/2)-(π/6)；
即对称中心是((kπ/2)-(π/6),1)；
当正弦函数 sin(2x +π/3) 取极大值或极小值时,相应函数 y 取极大值或极小值；所以最大 f(x)=2*1+1=3,最小 f(x)=2*(-1)+1=-1；即值域为 [-1,3]；
（2）最小正周期 T=2π/2=π；
（3）正弦函数的单调区间等同于函数 y 的单调区间；设 k 为整数,则：
当 2kπ-(π/2)≤2x+(π/3)≤2kπ+(π/2),即 kπ-(5π/12)≤x≤kπ+(π/12),函数单调增加；
（4）x∈[-π/4,π/4],则 2x +(π/3)∈[-π/6,5π/6],sin(2x +π/3) 的最大值是 sin(π/2)=1,最小值是 sin(-π/6)=-1/2；对应 y∈[0,3]；
（5）对称轴位于函数的极值点处,即当 2x +π/6=2kπ ±π/2 → x=kπ-(π/12)±(π/4)；
对称轴方程为 x=kπ +(π/6),或 x=kπ-(π/3)；
（正弦函数的）对称中心即函数的均值点（y=1）,即 sin(2x +π/3) 的零值点；
令 sin(2x +π/3)=0,得 2x +π/3=kπ；整理后表示为 x=(kπ/2)-(π/6)；
即对称中心是((kπ/2)-(π/6),1)；