(2014•福州模拟)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1,0)、B(3,0)、C(0,3),顶点为D.
来源:学生作业帮 编辑:拍题作业网作业帮 分类:综合作业 时间:2024/06/10 01:55:48
(2014•福州模拟)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1,0)、B(3,0)、C(0,3),顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴下方的抛物线y=ax2+bx+c上有一点G,使得∠GAB=∠BCD,求点G的坐标;
(3)设△ABD的外接圆为⊙E,直线l经过点B且垂直于x轴,点P是⊙E上异于A、B的任意一点,直线AP交l于点M,连接EM、PB.求tan∠MEB•tan∠PBA的值.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴下方的抛物线y=ax2+bx+c上有一点G,使得∠GAB=∠BCD,求点G的坐标;
(3)设△ABD的外接圆为⊙E,直线l经过点B且垂直于x轴,点P是⊙E上异于A、B的任意一点,直线AP交l于点M,连接EM、PB.求tan∠MEB•tan∠PBA的值.
(1)由抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C,可得:
c=3
a+b+c=0,9a+3b+c=0,
解得:
a=1
b=−4,c=3,
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.
(2)过点G作GF⊥x轴,垂足为F.设点G坐标为(m,m2-4m+3),
∵点D(2,-1),
又∵B(3,0),C(0,3),
∴由勾股定理得:CD=2
5,BD=
2,BC=3
2,
∵CD2=BC2+BD2,
∴△CBD是直角三角形,
∴tan∠GAF=tan∠BCD=
1
3.
∵tan∠GAF=
GF
AF=
1
3,
∴AF=3GF,
即-3(m2-4m+3)=m-1,
解得:m1=1(舍去),m2=
8
3.
∴点G的坐标为(
8
3,-
5
9).
(3)∵点D的坐标为(2,-1),
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴圆心E是线段AB的中点,即E(2,0),半径为1,
设P(x1,y1)(1<x1<3,y1≠0),M(3,y0),作PF⊥x轴,F为垂足.
∵点A、P、M三点在一条直线上,
∴
|y0|
|y1|=
2
x1−1,即|y0|=
2|y1|
x1−1.
∴tan∠MEB=
|y0|
EB=
2|y1|
x1−1,
∵AB为直径,
∴∠APB=90°,
∴∠PBA=∠APF,
∴tan∠PBA=tan∠APF=
x1−1
|y1|,
∴tan∠MEB•tan∠PBA=
2|y1|
x1−1•
x1−1
|y1|=2.
另同上,连接PE,
∵PE=1,PF=|y1|,EF=|x1-2|,
在Rt△PEF中,根据勾股定理得:(x1-2)2+y12=1,
即1-(x1-2)2=y12,…(12分),
∵tan∠PBA=
|y1|
3−x1,…(13分)
∴tan∠MEB•tan∠PBA=
2y12
−(x12−4x1+3)=
2y12
1−(x1−2)2=2.
c=3
a+b+c=0,9a+3b+c=0,
解得:
a=1
b=−4,c=3,
∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.
(2)过点G作GF⊥x轴,垂足为F.设点G坐标为(m,m2-4m+3),
∵点D(2,-1),
又∵B(3,0),C(0,3),
∴由勾股定理得:CD=2
5,BD=
2,BC=3
2,
∵CD2=BC2+BD2,
∴△CBD是直角三角形,
∴tan∠GAF=tan∠BCD=
1
3.
∵tan∠GAF=
GF
AF=
1
3,
∴AF=3GF,
即-3(m2-4m+3)=m-1,
解得:m1=1(舍去),m2=
8
3.
∴点G的坐标为(
8
3,-
5
9).
(3)∵点D的坐标为(2,-1),
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴圆心E是线段AB的中点,即E(2,0),半径为1,
设P(x1,y1)(1<x1<3,y1≠0),M(3,y0),作PF⊥x轴,F为垂足.
∵点A、P、M三点在一条直线上,
∴
|y0|
|y1|=
2
x1−1,即|y0|=
2|y1|
x1−1.
∴tan∠MEB=
|y0|
EB=
2|y1|
x1−1,
∵AB为直径,
∴∠APB=90°,
∴∠PBA=∠APF,
∴tan∠PBA=tan∠APF=
x1−1
|y1|,
∴tan∠MEB•tan∠PBA=
2|y1|
x1−1•
x1−1
|y1|=2.
另同上,连接PE,
∵PE=1,PF=|y1|,EF=|x1-2|,
在Rt△PEF中,根据勾股定理得:(x1-2)2+y12=1,
即1-(x1-2)2=y12,…(12分),
∵tan∠PBA=
|y1|
3−x1,…(13分)
∴tan∠MEB•tan∠PBA=
2y12
−(x12−4x1+3)=
2y12
1−(x1−2)2=2.
(2014•福州模拟)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标为C(1,k),与y轴的交点在
如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(-3,0),B(1,0),C(0,3)三点,其顶点为D,对称轴是直线l,l与
(2013•下城区二模)已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(-1,0),B(3,0),交y轴于点C,M为抛物线的顶点
如图,已知抛物线y=ax2+bx经过点A(2,0)、B(3,3),顶点为C,直线BC与y轴交于点D,点P是x轴负半轴上的
(2013•广州)已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0,a≠c)过点A(1,0),顶点为B,且抛物线不经过第三象限.
已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴的两个交点分别为A(-1,0),B(3,0),与y轴交点为点D,顶点为C
如图所示,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为点A(-2,3),且抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点B(
(2014•郓城县模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点,已知点A(-3,0
已知,如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(0,-3),C(3,0 )三点.
(2012•遵义)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点O,交x轴于点A,其顶点B的坐标为(3,-
(2012•福州)如图1,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点.
(2012•福州)如图1,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过A(3,0)、B(4,4)两点. (